为什么乘法是 O(n^2)？答案

【问题标题】：Why is multiplication O(n^2)?为什么乘法是 O(n^2)？
【发布时间】：2015-09-14 02:00:48
【问题描述】：

嗨，我正在学习 Big-O，想知道为什么乘法是 O(n^2)。我想我知道为什么，但我不确定。是因为乘法需要多长时间吗？我知道加法是线性时间 O(n)，如果我们进行二进制乘法，我们首先将所有位相乘并移位。在我们完成所有位的移位和相乘后，我们将进行加法。所以我猜乘法的递归调用是O（n），结果的加法是O（n）。所以结合这两个运行时间会给我们 O(n^2)。这是对的还是我走错了路？编辑：所以我想我要问的是为什么小学乘法是O(n^2)

谢谢

【问题讨论】：

标签： algorithm big-o

【解决方案1】：

首先，乘以什么？你在乘法吗，矩阵？你在乘法吗，多项式？你是乘法吗，整数？你在乘以浮点数吗？你是在乘以整数模素数吗？

假设你在谈论你在小学学习的整数乘法 --

（幼稚的）小学算法是O(n^2)，因为当您使用它将n-digit 数字乘以m 数字数字时，您最终得到的基本上是m 的移位副本的总和n 数字然后你必须加起来。它涉及写下大约 n+m 到 m 的数字网格，然后将所有这些数字相加，因此在该方法中您需要大约 n^2 的时间和空间。

但是，已知有许多更好的乘法方法，例如俄罗斯农民乘法，对于非常大的数字，最快的方法大约可以达到 O(n log n) 时间。这些方法基于快速傅立叶变换，非常复杂。

没有人知道如何证明乘法不能在O(n) 时间内完成，理论上有可能。

所以当你问

为什么乘法是 O(n^2)？

答案是，它不是，它到底是什么，我们不知道，它介于O(n) 和O(n log n) 之间。只有特定的算法是O(n^2)。

【讨论】：

赞成不仅因为这是正确答案，还因为您在 9 分钟内写下了它。那一定是某种记录。但我认为答案会更好，如果它有一些指向更多关于该主题的材料的链接。
对不起，我忘了说我将 m 位数 x 和 n 位数 y 相乘。如果是这种情况，我的第一条思路是否正确，因为我正在考虑长乘法？
@RonnieGarcia：所以当你说这部分时“我知道加法是线性时间 O(n)，如果我们进行二进制乘法，我们首先将所有位相乘并移位。在我们完成移位之后并将我们要做的所有位相乘。”这听起来像俄罗斯农民乘法。但是当你说这个“所以我猜乘法的递归调用是 O(n) 并且结果的加法将是 O(n)。”我不确定递归调用是什么。所以写实际的伪代码可能会更好？
@Juan Lopes：“那一定是某种记录”呵呵，一天的工作：）所以我不确定要添加哪些链接，我的意思是我可以添加指向维基百科的链接或东西，但感觉有点不值钱。如果您想要这些算法的参考资料，最好参考一些教科书或一些论文，即使我猜？但这是很多工作。我认为 OP 可能只关心小学算法或其他东西，不确定。
@RBarryYoung：在某些情况下，卷积绝对用于多项式相乘。我在帖子中提到的整数算法是 Schonage-Strassen 算法，它更像是一系列卷积而不是单个卷积 iiuc