算法分析/比较具有不同增长率的函数的运行时间答案

【问题标题】：Algorithmic analysis / comparing run-times of functions with different growth rates算法分析/比较具有不同增长率的函数的运行时间
【发布时间】：2013-10-05 06:43:17
【问题描述】：

我有一个作业问题：

如果输入大小为 100 的算法需要 0.5 毫秒，如果是 500、1,000 和 10,000 的输入需要多长时间：

线性，
O(N log N),
二次方，
立方，
指数。

我了解这里的基本概念，但我不确定如何从数学上解决这个问题。我很想简单地计算处理每个输入项所需的时间（例如，在 a 中）我将 0.5 除以 100 得到 0.05，然后乘以 500、1000和 1000 找出处理这些大小的输入需要多长时间。

虽然这对于线性计算很简单，对于二次和三次计算也很简单，但我不太明白如何将此策略应用于 (N log N) 或指数函数：我使用什么值作为指数的底？

对于(N log N)，是不是像计算c = 100 * log(100) = 200一样简单；然后计算 c = 500 * log(500) = 1349，即 6.745 乘以 200，然后将 6.745 乘以 0.5 得到 3.3725 作为最终答案？

【问题讨论】：

在这些概念中，除非另有说明，否则 Log 的基数为 2，您所做的计算是正确的方法，但基数错误。
@Joni 我说不是吗？
哎呀，错字了。我的意思是：基础确实不重要，@RonTeller。以 10 为底，以 2 为底，结果相同。

标签： algorithm math big-o time-complexity

【解决方案1】：

这是一个糟糕的练习：

它教您从单个数据点进行推断。
它教您将渐近分析的结果应用到无法应用的地方。

为了扩展后者，由于隐藏项，您无法根据渐近界给定特定输入来预测系统的性能。许多算法都有隐藏的常数和线性项，这些项在 n=100 等小输入大小的运行时间中占主导地位。

但如果你应该忽略这些事实，你的方法是正确的。

【讨论】：

虽然正确，但如果您（并非完全不合理）猜测 n = 100 大到足以出现主导增长项，您可以做出有根据的猜测。
我见过的大多数 CS 作业问题都是毫无意义的。仍然需要做它们以获得一张有意义的纸进入现实世界，看看它们都是多么的无意义。
@templatetypedef：如果（例如 CPU）缓存问题 100 实际上可能由常数项支配。
@WilliamGaul，我的意思是给定的信息不足以解决问题，不是不值得花时间和精力去尝试。一般来说，这是一个糟糕的练习题：它告诉您可以从单个数据点进行推断，并告诉您将渐近分析的结果应用到无法应用的地方。
@Joni Ah...在那种情况下，非常正确。

【解决方案2】：

假设函数的运行时间由 T(n) 给出。您可以通过执行以下操作来解决这些问题：

根据函数的增长率写出 T(n) 的一般表达式，假设存在一些隐藏的常数乘数。例如，对于 n log n 的情况，对于某个常数 c，写为 T(n) = c n log n。
使用您拥有的一个数据点求解 c； T(100) 给你。
根据需要插入 n 值以估计运行时间。

这适用于任何增长率。p>

快速说明：“指数”不够精确，无法做出有意义的估计。 2^n 和 100^n 都是指数的，但后者的增长速度明显快于前者。在计算机科学中，通常日志使用以 2 为底，但没有关于指数的通用约定。

希望这会有所帮助！

【讨论】：