这是我提出的算法的一部分：
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
for (int j = i; j < n; j++)
(...)
我正在使用这个“双循环”来测试一个大小为 n 的数组中所有可能的 2 元素和。
显然（我不得不同意），这个“双循环”是O(n²)：
n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = sum from 1 to n = (n (n - 1))/2
这是我困惑的地方：
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
(...)
第二个“双循环”的复杂度也为O(n²)，显然（在最坏的情况下）它比第一个好很多（？）。
我错过了什么？信息准确吗？有人能解释一下这个“现象”吗？
【问题讨论】：
(n (n - 1))/2 简化为 n²/2 - n/2。如果你对n 使用非常大的数字，n/2 的增长率与n² 相比将相形见绌，所以为了计算 Big-O 复杂度，你实际上忽略了它。同样，随着n 的增加，1/2 的“恒定”值根本不会增加，所以你也忽略了它。剩下的就是n²。
请记住，复杂性计算与“速度”不同。一种算法可能比另一种慢五千倍，但 Big-O 复杂度仍然较小。但是当您将n 增加到非常大的数字时，会出现通常可以使用简单公式进行分类的一般模式：1、log n、n、n log n、n² 等。
有时创建图表并查看出现的线条类型会有所帮助：
尽管这两张图的缩放系数差别很大，但你可以看到它产生的曲线类型几乎完全一样。
【讨论】：
n^2 - n/2 算法而不是第二个 n^2 算法？ （因为它们是渐近相同的）
常数因子。
Big-O 表示法忽略了常数因子，因此即使第二个循环慢了一个常数因子，但它们最终具有相同的时间复杂度。
就在the definition 中，它告诉您可以选择任何旧的常数因子：
...当且仅当存在一个正常数 M ...
这是因为我们想要分析算法的增长率 - 常数因素只会使事情复杂化，并且通常取决于系统（不同机器上的操作可能持续时间不同）。
您可以只计算某些类型的操作，但接下来的问题是选择哪个操作，以及如果该操作在某些算法中不占优势怎么办。然后，您需要将操作相互关联（以独立于系统的方式，这可能是不可能的），或者您可以为每个操作分配相同的权重，但这将是相当不准确的，因为某些操作需要的时间比其他人。
说O(15n² + 568n + 8 log n + 23 sqrt(n) + 17)（例如）真的有用吗？而不仅仅是O(n²)。
（出于以下目的，假设n >= 2）
请注意，我们实际上有渐近更小的项（即随着我们接近无穷大而更小），但我们总是可以将其简化为常数因子的问题。 (It's n(n+1)/2, not n(n-1)/2)
n(n+1)/2 = n²/2 + n/2
and
n²/2 <= n²/2 + n/2 <= n²
鉴于我们刚刚展示了n(n+1)/2 位于C.n² 和D.n² 之间，对于两个常量C 和D，我们也刚刚展示了它是O(n²)。
注意 - big-O 表示法实际上是一个严格的上限（所以我们只关心它是否小于一个函数，而不是介于两者之间），但它通常用于表示 Θ (big-Theta)，它关心两个界限。
【讨论】：
n² - n < 2n².
在典型用法中，不使用 O 符号的正式定义 直接地;相反，函数 f 的 O 表示法是由 以下简化规则：
如果 f(x) 是多项的和，则 保留增长率最大的，其他的都省略
Big-O 仅用于给出渐近行为 - 一个比另一个不进入它快一点 - 它们都是 O(N^2)
【讨论】：
你也可以说第一个循环是 O(n(n-1)/2)。 big-O 的花哨数学定义类似于：
函数“f”是函数“g”的大O，如果存在常数c，n使得对于某些c和所有x > n，f(x)
这是一种奇特的说法 g 是超过某个点并应用了一些常数的上限。然后得出 O(n(n-1)/2) = O((n^2-n)/2) 是 O(n^2) 的大 O，这对于快速分析来说更简洁。
【讨论】：
AFAIK，你的第二个代码 sn-p
for(int i = 0; i < n; i++) <-- this loop goes for n times
for(int j = 0; j < n; j++) <-- loop also goes for n times
(...)
所以本质上，它的时间复杂度为O(n*n) = O(n^2)。
根据 BIG-O 理论，忽略常数因子，只考虑高阶。也就是说，如果复杂度为O(n^2+k)，那么实际复杂度将为O(n^2)，常量k 将被忽略。
(OR) 如果复杂度为O(n^2+n)，那么实际复杂度将为O(n^2) 低阶n 将被忽略。
因此，在您的第一个复杂性为 O(n(n - 1)/2) 的情况下，将/可以简化为
O(n^2/2 - n/2) = O(n^2/2) (Ignoring the lower order n/2)
= O(1/2 * n^2)
= O(n^2) (Ignoring the constant factor 1/2)
【讨论】：