函数的时间复杂度

Question

我正在尝试找出函数的时间复杂度 (Big-O) 并尝试提供适当的原因。

第一个函数：

r = 0
# Assignment is constant time. Executed once. O(1)
for i in range(n):
    for j in range(i+1,n):
        for k in range(i,j):
            r += 1
            # Assignment and access are O(1). Executed n^3

像这样。

我看到这是三重嵌套循环，所以它必须是 O(n^3)。 但我认为我在这里的推理非常薄弱。我真的不明白发生了什么 在这里的三重嵌套循环内

第二个功能是：

i = n
# Assignment is constant time. Executed once. O(1)
while i>0:
    k = 2 + 2
    i = i // 2
    # i is reduced by the equation above per iteration.
    # so the assignment and access which are O(1) is executed
    # log n times ??

我发现这个算法是 O(1)。但就像第一个函数一样， 我看不到while循环中发生了什么。

有人能详细解释一下两者的时间复杂度吗 职能？谢谢！

Answer 1

对于这样一个简单的案例，你可以find the number of iterations of the innermost loop as a function of n exactly:

sum_(i=0)^(n-1)(sum_(j=i+1)^(n-1)(sum_(k=i)^(j-1) 1)) = 1/6 n (n^2-1)

即Θ(n**3)时间复杂度（see Big Theta）：如果r有O(log n)数字（model has words with log n bits），则假设r += 1是O(1)。

第二个循环更简单：i //= 2 是i >>= 1。 n 有 Θ(log n) 数字，每次迭代都会丢弃一个二进制数字（右移），因此如果我们假设 i >> 1 的 log(n) 移位，整个循环的时间复杂度是 Θ(log n) digits 是 O(1) 运算（与第一个示例中的模型相同）。

Answer 2

首先，对于第一个函数，时间复杂度似乎更接近O(N log N)，因为每个循环的参数每次都在减小。

另外，对于第二个函数，运行时间为 O(log2 N)。除了，说 i == n == 2。在一次运行之后，我是 1。在另一次运行之后，我是 0.5。另一个 i 是 0.25。依此类推……我想你会想要 int(i)。

对于每个函数的严格数学方法，您可以访问https://www.coursera.org/course/algo。对于这类事情来说，这是一门很棒的课程。我的计算有点草率。