线性（超定）代数方程的解

Question

我有一组线性代数方程，Ax=By。其中A是36x20的矩阵，x是20x1的向量，B是36x13，y是13x1。 排名(A)=20。因为系统是超定的，所以最小二乘解是可能的，即； x = (A^TA)^-1A^TBy。我想要解决方案，以便最小化残差 e = Ax-By。我使用 Maple 对矩阵进行转置和求逆，但是对如此大的矩阵求逆需要更长的时间和 RAM。我什至花了一整天的时间来求矩阵求逆，但由于 RAM 内存不足，它被中断了。这非常慢，我想 Maple 无法实现。

任何人都可以建议在 C++ 中这样做的任何解决方案或任何其他解决方程的方法，而不是采用逆和转置。

矩阵的形成，

    [ 1 0 0 ...0]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]    [LinearVelocity_x]
    [ 0 0 0 ...1]    [LinearVelocity_y]
    [ . . . ....], x=[LinearVelocity_z] 
A = [ . . . ....]    [RotationalVelocity_ROLL]
    [ . . . ....]    [RotationalVelocity_PITCH]    
    [ 1 0 0 ...0]    [RotationalVelocity_YAW]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]
    [ 0 0 0 ...1]

x 基本上是位置（x，y，z）和方向（滚动，俯仰和偏航）向量。 然而 B 不是固定的ones 和zeros 的矩阵。 B 是具有sin、cos 角度元素的矩阵，这些角度是实时传感器数据而不是固定数据。在 maple B 中几乎是一个由变量和固定元素组成的矩阵，可以说是一个dense sparse 矩阵。同时，y 是所有传感器或编码器的向量。

Answer 1

如果您的数据是浮点数，那么 Maple 应该很快就能得到它。如果A、B 和y 都只有数字条目，请尝试，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y) );

或者，如果您想要本身具有最小 2 范数的解决方案，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y), 'optimize'=true );

我的猜测是你的数据是纯粹的有理数或整数，你可能没有意识到使用它会导致 Maple 尝试找到一个确切的理性答案。或者您可能在数据中有一些未知的符号量（......尽管这可能会使计算最小残差的目标成为问题）。这种纯粹精确的数据，无论是理性的还是象征性的，都是一个潜在的内存占用噩梦，并且可能根本不是您真正想要的，您正在考虑将 C++ 作为替代方案。这就是为什么我调用evalf 来将数据转换为浮点数的原因。

对于纯浮点数据，36x20 最小二乘是一个小问题，Maple 应该能够在几分之一秒内完成。

您应该让LinearAlgebra:-LeastSquares 例程完成提升，而不是自己尝试形成或使用正规方程或矩阵求逆。如果您想要一种稳健的方法，请使用method=SVD 选项。让它处理数值难题。