找到一组数字的 GCD？

Question

所以，我在一次采访中被问到这个问题。给定一组数字（不一定不同），我必须找到给定数字组所有可能子集的 GCD 的乘积。

我告诉面试官的方法：

1. Recursively generate all possible subsets of the given set.
2a. For a particular subset of the given set:
2b. Find GCD of that subset using the Euclid's Algorithm.
3. Multiply it in the answer being obtained.  

假设空集的 GCD 为 1。 但是，将有 2^n 个子集，如果 n 很大，这将无法以最佳方式工作。如何优化它？

Answer 1

假设每个数组元素都是 1..U 范围内的整数，对于某些 U。

令 f(x) 为具有 GCD(x) 的子集数。问题的解决方案是所有不同因子 1

设 g(x) 为可被 x 整除的数组元素个数。

我们有

f(x) = 2^g(x) - SUM(x | y, f(y))

我们可以通过枚举每个数组元素的所有除数来计算 O(n * sqrt(U)) 中的 g(x)。 f(x) 可以在 O(U log U) 中从高值到低值计算，通过以简单的方式枚举 x 的每个倍数。

Answer 2

先决条件：

费马小定理（也有广义定理）、简单数学、模幂运算

解释：符号：A[] 代表我们的输入数组

显然约束 1

好的，继续

我们可以考虑将具有相同 GCD 的子集组合起来，以增加复杂度。

所以，让我们将迭代器 i 从 10^6 递减到 1 以尝试使用 GCD i 创建集合！

现在要使用 GCD(i) 创建子集，我可以将它与任何 i*j 组合在一起，其中 j 是非负整数。为什么？

GCD(i , i*j ) = i

现在，

我们可以为任何元素建立一个频率表，因为这个数字很容易达到！

现在，在比赛期间，我所做的是，将 gcd(i) 的子集数量保持在 f2[i]

因此我们所做的是 j*i 中所有元素的总频率，其中 j 从 1 变化到 floor(i/j) 现在具有公约数（而不是 GCD）的子集，因为 i 是 (2^sum - 1)。

现在我们必须从这个总和中减去 GCD 大于 i 并且 i 作为 gcd as i 的公约数的子集。

这也可以在同一个循环中通过对 f2[i*j] 求和来完成，其中 j 从 1 变化到 floor(i/j)

现在 GCD i 的子集等于 2^sum -1 - f2[ij] 的总和只需将 i （具有 GCD i 的子集的数量）相乘，即功率（i，2^sum -1 - f2 的总和[j]) 。但是现在要计算这个指数部分可能会溢出，但是您可以使用给定的 MOD-1 取它的百分比，因为 MOD 是素数！ （费马小定理）使用模幂运算

这是我的代码的 sn-p，因为我不确定我们现在可以发布代码！

for(i=max_ele; i >= 1;--i)
            {
                to_add=F[i];
                to_subtract = 0 ;
                for(j=2 ;j*i <= max_ele;++j)
                    {
                        to_add+=F[j*i];
                        to_subtract+=F2[j*i];
                        to_subtract>=(MOD-1)?(to_subtract%=(MOD-1)):0;
                    }

                subsets = (((power(2 , to_add , MOD-1) ) - 1) - to_subtract)%(MOD-1) ;

            if(subsets<0)
                subsets = (subsets%(MOD-1) +MOD-1)%(MOD-1);

            ans  = ans * power(i , subsets , MOD);
            F2[i]= subsets;
            ans %=MOD;
        }

我觉得我用 F2 让事情变得复杂了，我觉得我们可以通过不采用 j = 1 来完成没有 F2 的事情。但没关系我没有考虑过，这就是我设法获得 AC 的方法.