具有两个 for 循环的该算法的时间复杂度

Question

你能解释一下如何计算时间复杂度

sum1=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)
  for(j=1;j<n;j++)
     sum++

我以 N 为基数，并尝试计算发生了多少次迭代

n=1,2,3...n

但我无法概括它。 请有人彻底解释一下。 我什至检查了其他类似类型的查询，例如： 说它跟随

1,2,4,8...n so it will be
2^n
nlogn

但我不明白。 我不知道他们怎么说2^n=logn。 请任何正确解释如何逐步计算..

谢谢:)

Answer 1

k 呈指数增长，因此需要O(log n) 时间才能达到n。检查logarithm 的定义。那是你的外循环。

内部循环是一个简单的O(n)。

Answer 2

为了获得两个循环的完整复杂度，您需要将外部循环的复杂度乘以内部循环的复杂度。这是通过考虑当 n 变得非常大时会发生什么（从技术上讲，因为 n 趋于无穷大）。您总共需要对 sum 或循环变量执行多少次操作？

在这种情况下，外部循环执行log(n) 次，因为 k 呈指数增长。指数地因为 k 在外循环的每次迭代中翻倍，所以这意味着它增长为 2^k，直到 2^k 达到 n。像这样乘以循环变量的注释。根据您在 cmets 中的问题，如果您将 k 乘以 3，您仍然会得到 log(n)，但它将以 base-3 记录，而不是以 base-2 记录。渐近地，对数的基数不相关，因此您可以简单地说它是 log(n)，忽略基数。因此，第一个循环具有O(log(n)) 复杂度。内部循环仍然是线性的（运行 n 次），因此如果将它们相乘，您将得到 O(n*log(n)) 复杂度。

总而言之：O(nlogn)

Answer 3

鉴于您的问题结构：

sum1=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)  // <-- Takes 1+1/2+1/2^2+1/2^3...+1/2^n = O(log(n)) time
   for(j=1;j<n;j++)  // <-- Takes 1+2+3+...+n = O(n) time
      sum++

外部循环将 k 的值增加k*2，因此您基本上每次都一半搜索空间：

k = 1*2 = 2 => 1/2^1 time
k = 2*2 = 4 => above + 1/2^2 time
k = 4*2 = 8 => above + 1/2^3 time
k = 8*2 = 16 => above + 1/2^4 time
.   .     .
.   .     .
.   .     .
k = n*2 = 2^n => above + 1/2^n time

换句话说，您每次都丢弃一半的元素。话虽如此，您实际上是在

中搜索大小为 n 的数组

1+(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) time = log(n) time

log(n) 是怎么来的？

以二叉树为例，在每个节点上，我们都分支成两个节点，这可以表示为递归关系：

T(n) = 2T(n/2)

随着搜索空间减少 2，当我们离根越远时，当搜索空间等于 1 时，我们必须达到 边界条件。深度为 k 的搜索空间大小将是 n/2^k（类似于我们上面看到的）。

在搜索空间相等时，我们的等式变为：

n/2^k = 1
=> n = 2^k

Taking log on both sides:
=> log n = k log 2
=> log n/ log 2 = k

Rearranging:
k = log n base 2.

所以在叶节点处，我们将遍历的二叉树的高度将是 log(n) base 2。在我们的例子中，我们将搜索空间乘以 2 并以幂遍历搜索空间两个在log(n) 时间到达结束元素。

这两个循环的总时间复杂度大约为 n * log n = O(nlog(n))。

Answer 4

由于内循环是

for(j=1;j<n;j++)

对于外循环的每次迭代，内循环将执行 n 次。您只需要知道外循环执行了多少次，然后将这两个值相乘即可。

k 将采用以下值

2^0, 2^1, 2^2, ...., 2^i where 2^i < n

取不等式两边的对数（以2为底）

     2^i < n
log(2^i) < log(n)
i*log(2) < log(n)
       i < log(n)

外层循环将精确执行 i + 1 次，因此复杂度为 O(i*n)，但从上面看，i

如果相反，内部循环是

for(j=1;j<k;j++)

然后内部循环会执行

2^0 + 2^1 + ... + 2^i 

注意这是一个系列而不是一个序列。事实上，它是众所周知的geometric series。该系列的总和由下式给出

a(1 - r^(i + 1))/(1 - r) 

其中 a = 1，r = 2，如果你用 log(n) 代替 i（它是之前分析的 log(n)），你会得到

2^(log(n) + 1) - 1

这是

2*n - 1