数学算法挑战

Question

为什么这个解决方案有效？ 大多数人都在做循环来解决这个问题，我做了递归， 但这很容易，对于计算机，我很困惑为什么会这样？

说明： 一个孩子在高楼的n层玩球。该楼层的高度 h 是已知的。

他把球扔出窗外。球弹跳（例如）到其高度的三分之二（弹跳 0.66）。

他的母亲从距离地面 1.5 米的窗户向外看。

妈妈会看到多少次球从她的窗前经过（包括它下落和弹跳的时候？

一个有效的实验必须满足三个条件： 以米为单位的浮点参数“h”必须大于 0 浮点参数“bounce”必须大于 0 且小于 1 浮点参数“window”必须小于 h。 如果以上三个条件都满足，则返回一个正整数，否则返回-1。

注意： 只有反弹球的高度严格大于窗口参数才能看到球。

export class G964 {
    public static bouncingBall(h: number, bounce: number, window: number): any {
        if (h <= 0 || bounce >= 1 || bounce <= 0 || window >= h) {
          return -1
        }

        return 1 + 2 * (Math.ceil(Math.log(window / h) / Math.log(bounce)) - 1)
  }
}

Answer 1

这确实更像是一道数学题，但是……

每次反弹时，您的球会反弹之前反弹的一小部分。所以为了方便起见，想象一下反弹参数是 0.5。每次反弹都是之前反弹高度的一半。如果您的窗口为 1.0，则反弹将是：

1/2, 1/4, 1/8, 1/16...

另一种说法是反弹的高度是bounce_rate ** n，其中n是反弹的次数。第三次反弹是0.5 ** 3 或1/8。

现在，如果给您一个高度并且您询问该高度对应于哪个弹跳，您需要解方程 height = bounce_rate ** n 与 n。求解n 需要一个日志——在这种情况下n = log(base bounce_rate)height. 日志基数bounce_rate 不方便，但您可以将其重写为log(height)/log(bounce_rate)。具体来说，要计算哪个反弹到达1/16 窗口高度，您只需计算log(1/16)/log(0.5) 并得到4。

因此，您应该能够开始了解这与您的等式有何相似之处。但由于我们的等式使用高度作为窗口高度的一部分，我们需要将该高度转换为相对于母窗口的高度。因此，与其计算球何时会反弹到落窗高度的 1/16，我们想知道球何时达到不同的比率——落窗与母亲的——window/h——如果母亲的窗口为 5，球从 20 处落下，这将计算 1/4，正如我们之前显示的那样，将是 log(1/4)/log(bounce_rate) 或 log(window/h)/log(bounce)

这就是它的核心。方程的其余部分处理的是窗口不一定是对数方程的精确解，所以我们用Math.ceil 进行四舍五入，并且球在下降的过程中出现在窗口前面一次，但每次两次它反弹超过窗口高度的时间。