如何将对数回归拟合到 R 中的“负指数”散点图

Question

我有一个每日降雨量 (x) 和观测值 (y) 的散点图，它看起来像 x^-2 图的右/正 x 值一半或以 1/2 为底的对数图。基本上，当 x 值非常低时，y 值非常高。 x 值越大，y 越低。但是 y 值下降的速度会变慢，并且 y 永远不会是负数。

这是一个有代表性的示例：

 rain <- c(1, 1.2, 1.3, 2.5, 3.2, 4.2, 5, 7, 7.5, 10.3, 11.7, 12.9, 14.1, 15, 15.5, 17.5, 18.3, 20, 20.2, 20.3, 25, 28, 30, 34, 40)

 obs <- c(42, 44, 43.9, 43.5, 35, 22, 18.4, 15.3, 10, 6.2, 5.7, 4, 3.7, 2.3, 2, 2.7, 3.5, 3, 2.9, 4, 1.6, 2.2, 1.6, 1.3, 0.8)

现在我想为这个散点图拟合一个回归模型。我已经尝试过多项式回归直到 x^-4，但我也想尝试对数回归，因为我认为它可能会成为一个更高质量的模型。

这是我迄今为止对多项式模型所做的：

    y <- data$obs
    x <- data$rain
    xsq <- x^-2
    xcub <- x^-3
    xquar <- x^-4
    

    fit4 <- lm(y~x+xsq+xcub+xquar) # I did the same for fit 1-3; until fit 4 it becomes more significant
    xv <- seq(min(x), max(x), 0.01)
    yv <- predict(fit5, list(x=xv, xsq=xv^-2, xcub=xv^-3, xquar=xv^-4))
    lines(xv, yv)

这就是我尝试的对数模型，但它只返回与曲线不匹配的直线。我觉得 log() 不是我真正需要的函数。

xlog <- log(x)
fitlogx <- lm(y~xlog)
xv <- seq(min(xlog), max(xlog), 0.01)
yv <- predict(fitlogx, list(x=xv))
abline(fitlogx)

ylog <- log(y)
fitlogy <- lm(ylog~x)
xv <- seq(min(x), max(x), 0.01)
yv <- predict(fitlogy, list(x=xv))
abline(fitlogy)

现在我想知道如何拟合一个有意义的对数函数。如果您知道另一种可能有用的回归模型，我也非常感谢您提供任何建议。

Answer 1

您的 obs 变量非常适合 rain 的倒数。例如

dev.new(width=12, height=6)
oldp <- par(mfrow=c(1, 2))
plot(obs~rain)
lines(rain, 1/rain*40)

曲线需要高一点。我们可以反复猜测，例如试试rain*60，但更容易使用nls 函数来获得适合方程的最佳最小二乘：

obs.nls <- nls(obs~1/rain*k, start=list(k=40))
summary(obs.nls)
# 
# Formula: obs ~ 1/rain * k
# 
# Parameters:
#   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# k   57.145      4.182   13.66 8.12e-13 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# 
# Residual standard error: 6.915 on 24 degrees of freedom
# 
# Number of iterations to convergence: 1 
# Achieved convergence tolerance: 2.379e-09
plot(obs~rain)
pred <- predict(obs.nls)
points(rain, pred, col="red", pch=18)
pred.rain <- seq(1, 40, length.out=100)
pred.obs <- predict(obs.nls, list(rain=pred.rain))
lines(pred.rain, pred.obs, col="blue", lty=2)

因此，k 的最佳估计值为 57.145。 nls 的主要缺点是您必须为系数提供起始值。它也可能无法收敛，但是对于我们在这里使用的简单函数，只要您可以估计合理的起始值，它就可以正常工作。

如果rain 可以有零值，则可以添加截距：

obs.nls <- nls(obs ~ k / (a + rain), start=list(a=1, k=40))
summary(obs.nls)
# 
# Formula: obs ~ k/(a + rain)
# 
# Parameters:
#   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# a   1.4169     0.4245   3.337  0.00286 ** 
# k 117.5345    16.6878   7.043 3.55e-07 ***
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# 
# Residual standard error: 4.638 on 23 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 10 
Achieved convergence tolerance: 6.763e-06

请注意，标准误差较小，但曲线高估了rain > 10 的实际值。