浮点;除法与乘法

Question

你有两个功能；

f(x)= x(((x+1)^(1/2))-(x^(1/2)))    
g(x)= x/(((x+1)^(1/2))+(x^(1/2)))

哪个更准确？

旁注：如果你能解释原因，那真的对我有帮助，我感觉它是 f(x)，因为没有分母，但我不是 100% 确定。

Answer 1

浮点运算与真正的数学有很大不同。特别是，浮点运算不是关联的或分配的。因此，当用有限精度浮点算术求值时，数学上等价的表达式不一定是等价的。即使按照IEEE-754 floating-point standard 的要求，单独的运算（例如加法、减法、乘法、除法和平方根）产生正确的舍入结果也是如此。

在这种情况下，g() 将比f() 更准确，对于x = 500 的特定情况也是如此。原因是f() 遭受了减法抵消。这发生在两个大小几乎相同的浮点数的有效减法中。在减法过程中，前导数字取消，只留下几个剩余的尾随数字进入后续计算。此外，在被减去的原始操作数的尾随数字中累积的任何舍入误差可能会被后续计算放大。可以在this Wikipedia article 中找到带有示例的扩展说明。

在这种情况下，sqrt(x+1) 和 sqrt(x) 的幅度几乎相同，尤其是随着 x 幅度的增加。以x = 500为例，采用IEEE-754单精度算法，我们发现：

x = 500   f(x) = 0x1.659ae0p+3 (11.175156)   reference = 0x1.659798p+3 (11.174755)
x = 500   g(x) = 0x1.659798p+3 (11.174755)   reference = 0x1.659798p+3 (11.174755)

f(500) 中的误差为 420 ulps，而g(500) 提供正确舍入的单精度结果。