在树中找到最大独立集的算法答案

【问题标题】：algorithm to find max independent set in a tree在树中找到最大独立集的算法
【发布时间】：2012-11-24 18:29:53
【问题描述】：

我需要一种算法来在树中找到最大独立集。我想从所有叶子节点开始，然后删除这些叶子节点的直接父节点，然后选择我们删除的父节点的父节点，递归地重复这个过程，直到我们到达根节点。这是在 O(n) 时间内完成的吗？任何答复表示赞赏。谢谢。

谁能指点我一个算法来找到树中的最大支配集。

【问题讨论】：

我没听懂你的问题，最大独立集是什么意思？你想要节点具有最大值还是什么？因为您描述的方法将在二叉树中有 2^n 个叶节点。那么，从哪里开始，简单介绍一下tree的实现是不是二叉树？
因此，在给定 n 个节点的一般树的情况下，找到最大独立集 (en.wikipedia.org/wiki/Maximal_independent_set)。
为了简单起见，只考虑一个完整的二叉树。
你想要一个最大独立集（最大可能大小之一）还是最大独立集（一个没有更多顶点可以被添加）？最大独立集显然是最大的，但更容易找到不一定是最大的最大独立集（所有树都是二分的，所以只取二分的一侧）。

【解决方案1】：

最大独立集

您可以通过深度优先搜索树来计算最大独立集。

搜索将为图中的每个子树计算两个值：

这些可以通过考虑两种情况递归计算：

整棵树中最大独立集的大小为max(A(root),B(root))。

根据definition of dominating set in wikipedia，最大支配集总是微不足道地等于包括图中的每个节点 - 但这可能不是您的意思？

【讨论】：

【解决方案2】：

简单快速的方法：

只要图不为空，就迭代地将一个叶子 v（度数为 1）添加到独立集 V 中，并删除 v 及其邻居。

这应该可行，因为

【讨论】：

【解决方案3】：

为什么这个算法有效背后的一些直觉：

让我们首先回顾一下最大独立顶点集的定义。我们必须只选择一条边的一个端点，并且我们必须覆盖满足这个属性的树的每一条边。我们不允许选择边的两个端点。
现在图的双色有什么作用？它只是将一组顶点分成两个子集（WHITE 和 BLACK），而 WHITE 彩色顶点直接连接到 BLACK 顶点。因此，如果我们选择全白或全黑，我们本质上是在选择一组独立的顶点。因此选择最大独立设置，选择大小更大的子集。

【讨论】：

这是不正确的。它找到一个最大独立集（一个不能添加顶点的集），但不是一个最大独立集（最大可能的基数之一）。考虑通过取一条边 xy 并添加与 x 相邻的两个叶子和与 y 相邻的两个叶子形成的树。最大独立集是所有叶子：四个顶点。但是图的每一边只包含三个顶点。
你不能计算最大 2 种方式然后：1) BLACK 或 WHITE 列表的最大值 2) 执行 BLACK 和 WHITE 着色但每次到达叶节点时将其添加到叶节点的最大独立set (1) 或 (2) 返回的最大列表为最终答案。