数字金字塔算法：金字塔中的数字 1-15，其中每个数字是下面数字的差

Question

首先：抱歉标题太长，但我发现很难用一句话来解释这个问题；）。是的，我也四处搜索（这里和谷歌），找不到一个像样的答案。

所以，问题是这样的：

数字 1-15 将被放入一个金字塔中（由一个数组表示），如下所示：

       1
     2   3
   4   5   6
  7  8   9   10
11 12  13  14  15

...除了不是真的像这样，因为这个金字塔是错误的。

每个数字“a”都应该由它下面的两个数字“b”和“c”定义：a = |b - c|。所以前两行是正确的，因为 |2-3| = 1。但是第三行当然是错误的，因为|4-5| = 1，但在这些数字之上还有 2。一开始，金字塔是空的，任务是寻找填充这个金字塔的算法。

对我来说，这似乎是一个可以使用某种Backtracking 算法解决的问题，尽管我还不确定递归的简单基本情况是什么。

尽管如此，我正在努力帮助我的侄子，在他学校的课堂上，他们还没有听说过任何关于递归的事情——更不用说回溯了。所以我目前正在尝试找到一种方法来解决这个金字塔的问题，使用某种嵌套的 for 循环或其他东西，但老实说......我目前正在碰壁，我想不出一个像样的解决方案。

有人有什么想法吗？

干杯，

/tehK

P.s：哦，我忘了...他们应该使用的语言是 C#（金字塔应该是一个数组），但我也可以处理任何其他语言，伪代码或你有的。这与编码无关，而与算法有关。

Answer 1

底行有 15*14*13*12*11=360360 种可能性。一旦你有底行，金字塔的其余部分就确定了。所以简单地检查每一种可能性，看看它是否不包含重复的数字。可以通过回溯来优化这一点，但您要求不回溯。

下面是示例代码：

import itertools

def pyramid():
    for b in itertools.combinations(range(1, 16), 5):
        for xs in itertools.permutations(b):
            rows = [xs]
            while len(rows[-1]) != 1:
                rows.append(tuple(abs(a-b) for a, b in zip(rows[-1], rows[-1][1:])))
            used = sum(rows, ())
            if all(1 <= i <= 15 for i in used) and len(set(used)) == 15:
                yield rows

for p in pyramid():
    for row in p[::-1]:
        print ' ' * 2*(5-len(row)) + '  '.join('% 2d' % n for n in row)
    print

输出：

         5
       4   9
     7   11   2
   8   1   12   10
 6   14   15   3   13

         5
       9   4
     2   11   7
   10   12   1   8
 13   3   15   14   6

找到的两个解决方案本质上是相同的（一个是另一个的镜像）。

Answer 2

小线索：
底行定义了所有金字塔，并且该行只有15!/10! 变体（如果我们省略反射，实际上只有一半）。

因此，遍历所有可能的排列并检查有效的金字塔是否可能并不是很困难