我必须找到 (p^e-1)/(p-1) mod 1000000007，其中 p 是质数。 如果 gcd(p-1,1000000007) 不为 1，则 (p-1) 的模逆未定义。此外，(p^e-1) 可以被 (p-1) 整除（几何级数的总和）。我也找不到 (p^e-1)，因为 p,e
【问题讨论】：
当你除以整数，然后取模时，你必须以特殊的方式处理模的素数。考虑例如 6/3 mod 3。如果我们只是尝试写 6/3 mod 3 = (6 mod 3)/(3 mod 3)，我们将有未定义的 0/0，而正确答案当然是 6/3模 3 = 2 模 3 = 2。
所以我们需要做的是从分子和分母中提取 3 的幂，然后分别除以（通过减去指数）。所以我们有 6 = 3^1 x 2, 3 = 3^1 x 1，所以 6/3 = 3^1/3^1 x 2/1 = 3^{1-1} x 2 = 3^0 x 2 = 2 mod 3。让我们尝试一个更复杂的例子：18/6 mod 3 = (3^2 x 2)/(3^1 x 2) = 3^{2-1} x 2/2 = 3 x 1 = 3 模 3 = 0。
这是另一个例子：36/18 = (3^2 x 4)/(3^2 x 2) = 3^{2-2} x 4 x 2^{-1} mod 3 = 4 x 2 mod 3 (因为 2^{-1} = 2 mod 3) = 8 mod 3 = 2。一般来说，我们减去 3 部分的幂的指数，并将除数的 3 部分的非幂取反 mod 3。
在您的示例中，我们必须找到进入 p^e-1 的 1000000007 的最大幂 m，并重写 p^e-1 = 1000000007^m x s，其中 s 与 1000000007 互质。我们也这样做对于 p-1 = 1000000007^n x t，其中 t 与 1000000007 互质。那么商 (p^e-1)/(p-1) = 1000000007^{m-n} x s x t^{-1}。如果 m>n，答案是 0 mod 1000000007；否则答案是 s x t^{-1} mod 1000000007。存在 t mod 1000000007 的倒数，因为 t 与 1000000007 互质；逆可以通过欧几里得算法的修改版本来计算。
【讨论】：
因为 1000000007 是素数，所以有两种情况。
案例 1：1000000007 是 p-1 的因数。那么 p mod 1000000007 = 1，所以 1+p+p^2+...+p^(e-1) = 1+1+1...+1 = e mod 1000000007。
案例 2：1000000007 与 p-1 互质，您可以将 1/(p-1) 计算为 (p-1)^1000000005 mod 1000000007，或者使用欧几里得算法，您可以计算出 mod 1000000007 的相对幂通过平方快速使用求幂。
【讨论】：
你有两个案例
p-1 与大素数 1000000007 互质。对于p <= 1000000007 总是如此，对于较大的p 通常也是如此。看来您知道在这种情况下该怎么做 - 使用算法找到 p-1 的模逆，即 a 使得 a * (p - 1) == 1 mod 1000000007。
p-1 是 1000000007 的倍数 - 即 p-1 == k*1000000007。在这种情况下，p == k*1000000007 + 1
让我们把注意力转向表达式的第一行
p^e - 1 == (k * 1000000007 + 1) ^ e - 1
这可以通过二项展开式展开为
((k*1000000007)^e + e*(k*1000000007)^(e-1) + ... + 1) - 1
但请记住，(k*1000000007) == p-1。所以，展开是
((p-1)^e + e*(p-1)^(e-1) + ... + e*(p-1))
我们可以除以 p-1 并留下
((p-1)^(e-2) + e*(p-1)^(e-2) + .... + e)
我们知道在这种情况下所有包含p-1 的词都是0 mod 1000000007，所以我们只剩下最后一个词e。因此，在这种情况下，表达式 (p^e - 1) / (p - 1) mod 1000000007 的结果是 e - 你找不到 p-1 的模逆，因为你不能，但你也不需要。
【讨论】：
1000000007 is a prime number，所以如果p-1 < 1000000007，gcd 将始终为 1。如果p-1 是 1000000007 的某个倍数，则根据定义，它是 0 模 1000000007，因此没有逆定义。
【讨论】：