关于数论的算法

Question

给定两个正整数a,b (1

L = {x * y | 1 <= x <= a, 1 <= y <= b, x,y is integer}

R = {x ^ y | 1 <= x <= a, 1 <= y <= b, x,y is integer},

^ 是异或运算

对于任意两个整数：A∈L，B∈R，我们将B格式化为n+1（n为b的十进制数）十进制数（B前面填0），然后将B连接到结束A，得到一个新的整数AB。

计算所有生成的整数AB的总和（如果总和超过，则返回“sum mod 1000000007”，mod表示模运算）

注意：你的算法时间不超过3秒

我的算法很简单：我们可以很容易的得到集合R中的最大值，R中的元素是0,1,2,3...maxXor,(元素max( a,b) 可能不在 R) 中，使用哈希表计算集 L。但是当 a = 30, b = 100000 时算法消耗 4 秒。

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举个例子：

a = 2, b = 4, so

L = {1 * 1, 1 * 2, 1 * 3, 1 * 4, 2 * 1, 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4} =  {1, 2, 3, 4, 6, 8}

R =  {1^1,1^2,1^3,1^4,2^1,2^2,2^3,2^4} =  {0, 1, 2, 3, 5, 6}

所有生成的整数AB是：

{

100, 101, 102, 103, 105, 106,

200, 201, 202, 203, 205, 206,

300, 301, 302, 303, 305, 306,

400, 401, 402, 403, 405, 406,

600, 601, 602, 603, 605, 606,

800, 801, 802, 803, 805, 806

}

所有AB的总和是14502

Answer 1

所以数字 AB 可以写成10^(n+1) A + B。这意味着对所有A, B求和，总数等于

|R| 10^(n+1) Sum(A in L) + |L| Sum(B in R)

在你的例子中，

|L| = 6
|R| = 6
Sum(A in L) = 24
Sum(B in R) = 17
n = 3

代入上述公式后得到 14,502。

这将集合大小的运行时间从二次变为线性，因此您应该会看到相当大的改进。

接下来的部分我没有完全充实，因为我没有时间，但他们觉得他们应该工作：

• 首先，请注意Sum(A in L) 使用计算很简单

  1 + 2 + .. + n = n(n-1)/2
  

  如果没有L 不包含重复的约束。不过，您可以通过利用 a 非常小的事实来解决此问题：使用三角数公式迭代地计算总和 1, .., a 并使用该信息来避免多次计算产品。

• 对于Sum(B in R)，请注意，当您比较y 和x^y 时，最多第一个lg(a) 位已更改。因此，您可以将x^ys 的总和分成两个总和：一个处理来自lg(a)+1 向上的位并且仅依赖于b，另一个更复杂的总和处理来自@987654339 的位@ 向下，取决于a 和b。

编辑：OP 要求我扩展如何快速计算 Sum(A in L)。在之前的编辑中，这部分有很多东西，但实际上我现在已经坐下来仔细研究了它，而不是随意地在脑海中敲打它。结果也比我预期的要复杂，所以我很抱歉没有坐下来尽快解决它@tenos。

所以我们要做的是取所有不同产品的总和x*y，这样1 <= x <= a 和1 <= y <= b。好吧，事实证明这很难，所以让我们从一个更简单的问题开始：给定两个整数 x1, x2 和 x1 < x2，我们如何计算所有不同乘积的总和 x1*y 或 x2*y 其中1 <= y <= b？

如果我们放弃了独特性标准，这很容易：它只是

x1*Sum(b) + x2*Sum(b)

其中Sum(j) 表示整数1 到j 的总和，可以使用三角数的高斯公式计算。因此，我们可以再次将问题简化为更简单的问题：我们如何才能找到同时出现在左右项中的所有产品的总和？

嗯，如果两个产品相等

x1*y1 == x2*y2

这恰好在x1*y1 == x2*y2 == k*LCM(x1, x2) 时发生，其中LCM 是lowest common multiple 而k 是某个整数。

所有k 的总和使得1 <= k*LCM(x1, x2) <= x1*b 是

R(x1, x2) = LCM(x1, x2) * Sum(x1*b/LCM(x1, x2))

R 代表“重复”。这意味着我们所有不同产品的总和 x1*y 或 x2*y 其中1 <= y <= b 是

x1*Sum(b) + x2*Sum(b) - R(x1, x2)

接下来，我们将R的定义扩展为定义在三个变量x1 < x2 < x3上

R(x1, x2, x3) = LCM(x1, x2, x3) * Sum(x1*b/LCM(x1, x2, x3))

对于 4 个变量、5 个变量等类似。那么三个 x1 < x2 < x3 的不同乘积之和为

x1*Sum(b) + x2*Sum(b) + x3*Sum(b) - R(x1, x2) - R(x1, x3) - R(x2, x3) + R(x1, x2, x3)

inclusion-exclusion principle。

所以，让我们利用它。定义

Sum for x = 1: 1*Sum(b)
Sum for x = 2: 2*Sum(b) - R(2, 1)
Sum for x = 3: 3*Sum(b) - R(3, 2) - R(3, 1) + R(3, 2, 1)

等等。那么直到x = a 的所有这些总和的总和就是所有不同乘积的总和。

编辑：@tenos 把它变成了一个有用的解决方案。他注意到由于 i*Sum(b) 包含许多重复，我们可以替换为 i*sum(k...b), k = max(b/minPrimeFactor(i) + 1, i)。

此外，当使用包含-排除原则时，可以修剪许多不必要的计算。例如，如果 R(1,2) = NULL，则不需要计算 R(1,2,3)、R(1,2,4).. 等。实际上，当 b 很大时，有很多 R(i,..j) = NULL。