带模条件的 for 循环的 O 表示法答案

【问题标题】：O-notation with for-loop with modulo condition带模条件的 for 循环的 O 表示法
【发布时间】：2017-09-11 20:58:14
【问题描述】：

我的问题是如何计算此操作的 O 表示法，其中两个外部循环将执行 O(n^3) 次。我的问题是，当在条件中使用模数并且内部 for 循环仅在 i 是 j 中的一个因素时运行时，o 表示法将是什么。

for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
   for(int j =1; j <= i ∗ i ; j++) {
      if(j % i == 0 ) {
         for(int k = 0 ; k < j ; k++ ){
             sum++;
         }
       }
    }
}

【问题讨论】：

仍然会被计算为 O(n^3)。
为什么不将中间循环定义为for(int j = i; j <= i * i; j += i) {？看起来不那么可怕并且更容易编译。
或者只是让 j 的范围从 1 到 i，然后在需要值时乘以 i...
考虑到内部循环是 O(n^2)，我实际上希望它是 O(n^4)。
@Turing85：但你不能忽视这样一个事实，即 if 条件在每次迭代中都不为真。对于每个外部循环，这是真的 i 次。它测试了 O(n^3) 次（我假设每次检查的时间都是恒定的，所以如果整体结果比 O(n^3) 差，这无关紧要），但只通过 O(n^2) 次，所以内部循环只执行 O(n^2) 次，但本身是 O(n^2)，导致整体 O(n^4)。至少，我是这么认为的……

标签： java big-o modulo

【解决方案1】：

是O(n^4)。

这个技巧是if (j % i == 0)。由于i 几乎是n 和j 的范围为n^2，我们知道这个陈述将是真的n + (n-1) + ... + 1 次将简化为(n+1)(n+2)/2 或O(n^2)，这将反过来运行一个循环运行n^2 次。然后我们需要把它当作一个加法，所以我们有n^3 + n^2 * n^2，这简化为O(n^4)。

如果我的推理有问题请指出，我有点生疏。

【讨论】：