为什么中位数算法不能使用块大小 3？

Question

我正在分析确定性中位数发现，假设输入被分为 3 个部分而不是 5 个部分，问题是它在哪里分解？

确定性中值查找算法：

SELECT(i, n)

1. 将 n 个元素分成 5 个一组。 死记硬背找到每个 5 元素组的中位数。

2. 递归选择 ⎣n/5⎦ 的中位数 x 将中位数分组为枢轴。

3. 围绕轴 x 进行分区。设 k = rank(x)

4.如果 i = k 则返回 x

否则我

然后递归地选择第 i 个 下部最小元素

否则递归选择第 (i-k) 个 上半部分的最小元素

我对算法进行了分析，我相信第 1 步和第 3 步将花费 O(n)，其中只需恒定时间即可找到 5 个元素的中位数，而第 2 步需要 T(n/5).so至少 3/10 的元素≤ p，并且至少 3/10 的数组≥ p，因此，步骤 4 将 T(7n/10) 并且将得到递归。 T(n) ≤ cn + T(n/5) + T(7n/10)， 但是当我将元素分成 3 组时，假设 9 个元素，我将它们分成组，这样：

{1,2,10} {4,11,14}, {15,20,22}

我得到了中位数 2,11,20 和 p=11。

一般来说，在五人组中，可以说 g = n/5 组，并且至少 ⌈g/2⌉ 其中（中位数≤p的组）五个元素中至少三个≤p。所以元素总数≤p至少为3⌈g/2⌉≥3n/10。但是在 3 组中，我们可以得到所有三个元素可能小于 p。在这里我认为算法会崩溃！

我的想法正确吗？？？

Answer 1

在 3 人组中，对于 5 人组，大约一半的组的中位数元素小于中位数的中位数，因此在这些组中，您可以丢弃小于中位数的元素。在您的情况下，(1,2,10) 的中位数小于 11，因此您可以丢弃 1 和 2。

我认为 3 人一组的问题在于成本计算。 3(floor(floor(n/5)/2 - 2) 大约是 3n/10 变成 2(floor(floor(n/3)/2 -2) 左右，大约是 n/3。这意味着7n/10 变为 2n/3。 floor(n/5) 变为 floor(n/3)，因此您将得到 2cn/3 + cn/3 = 而不是 7cn/10 + 2cn/10 = 9cn/10 cn，而不是 T(n)

看起来你实际上可以在递归的每个阶段扔掉更多的元素，但递归将剩余的工作量除以 3，而不是 5，这不足以实现收支平衡。