【发布时间】：2013-08-08 09:05:48
【问题描述】：
在中位数算法中，我们需要将数组分成大小为 5 的块。我想知道算法的发明者是如何想出幻数“5”而不是，可能是 7，还是 9 或其他？
【问题讨论】：
标签： algorithm time-complexity array-algorithms
【发布时间】：2013-08-08 09:05:48
【问题描述】：
我认为，如果您查看 wiki 页面的“O(n) 运行时间证明”部分以获取 medians-of-medians algorithm：
中位数计算递归调用不会超过最坏情况的线性行为，因为中位数列表是列表大小的 20%，而另一个递归调用最多在列表的 70% 上递归，使得运行时间
O(n) 项 c n 用于划分工作（我们以恒定次数访问每个元素，以便将它们分成 n/5 组并在 O(1) 时间内取每个中值）。 由此，使用归纳法，我们可以很容易地证明
这应该可以帮助您理解为什么。
【讨论】：
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这证明了使用 20% 的 O(n) 运行时间，它并不能反驳其他百分比的 O(n) 运行时间（如果其他百分比也是 O(n)，它不能证明选择高于其他 20% 是合理的）。
对于算法，数字必须大于 3（显然是奇数）。 5 是大于 3 的最小奇数，所以选择了 5。
【讨论】：
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它不必大于 tan 3（和奇数），请参阅下面的答案。
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是的，但这是一种不同的算法。这只是 OP 所询问的算法的轻微变化 - 但它仍然是一种不同的算法。 OP 询问“为什么在这个特定的算法中我们需要使用 5 个块”，而不是“这个算法是否有一个变体，我们可以使用更小的块”。他们试图了解某些东西是如何计算的，而不是试图找出是否有其他东西可以做得更好。
您还可以使用大小为 3 或 4 的块，如 K. Chen 和 A. Dumitrescu (2015) 的论文 Select with groups of 3 or 4 中所示。这个想法是使用“中位数的中位数”算法两次，然后才进行分区。这会降低枢轴的质量，但速度会更快。
所以而不是：
T(n) <= T(n/3) + T(2n/3) + O(n)
T(n) = O(nlogn)
一个得到：
T(n) <= T(n/9) + T(7n/9) + O(n)
T(n) = Theta(n)
【讨论】：
在Brilliant.org 上查看此说明。基本上，五是我们可以用来维持线性时间的最小可能数组。使用 n=5 大小的数组也很容易实现线性排序。为乳胶道歉：
为什么是 5 个？
中位数的中位数将列表划分为长度为 5 到 获得最佳运行时间。记住，找到小的中位数 通过蛮力（排序）列出需要少量时间，因此 子列表的长度必须相当小。然而，调整 例如，将子列表大小设置为 3 确实会更改 更糟。
如果算法将列表分成长度为 3 的子列表，pp 将大于大约 \frac{n}{3} 3 n 个元素并且 它会小于大约 \frac{n}{3} 3 n 个元素。 这将导致最坏的情况 \frac{2n}{3} 3 2n 递归， 产生递归 T(n) = T\big( \frac{n}{3}\big) + T\big(\frac{2n}{3}\big) + O(n),T(n)=T( 3 n )+T( 3 2n )+O(n), 主定理是 O(n \log n),O(nlogn)，比较慢 比线性时间。
事实上，对于任何形式的递归 T(n) \leq T(an) + T(bn) + cnT(n)≤T(an)+T(bn)+cn，如果a + b 1a+b>1，则递归通常等于 \Omega(n \log n)Ω(nlogn)。 [3]
中位数算法可以使用大于 5（例如 7）并保持线性运行时间。然而，我们需要 保持子列表的大小尽可能小，以便对 子列表可以在有效的恒定时间内完成。
【讨论】：