黄色和黑色边缘的最短路径答案

【问题标题】：Shortest Paths with yellow and black edges黄色和黑色边缘的最短路径
【发布时间】：2013-01-02 18:13:51
【问题描述】：

给定有向加权图 G=(V,E)。
没有负加权边缘。
每个边缘都有颜色（黑色或黄色）。

我需要找到一种算法来找到给定 s ∈ V 的最短路径，而每条路径都必须遵循以下规则：color(v_i,v_{i+1 sub>)=color(v_i+3,v_i+4), ∀i :1 ≤ i ≤ k-4 而路径为 v₁ → ... → v_k。
算法需要在O(|V|+|E|log(|V|))内。}

【问题讨论】：

你似乎知道 TeX。现在，是时候学习一些stackoverflow了。请编辑您的帖子以使其可读。
我怎样才能让它更具可读性？

标签： algorithm graph graph-theory shortest-path

【解决方案1】：

作为提示：尝试修改 Dijkstra 算法以存储两个不同的优先级队列：一个包含从起始节点到以黄色边缘结束的目标节点的路径成本，以及从起始节点开始的路径成本到以黑边结束的目标节点。然后，更新逻辑以找到下一个节点以选择考虑两个队列，并更改减少键逻辑以确保您使用正确的信息更新正确的队列。这可以通过普通 Dijkstra 算法的常数因子开销来完成，因此需要时间 O(|E| + |V| log |V|)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

我认为这不是正确的解决方案。我想我需要调整图表以准确到正确的可能路径。你的答案似乎是错误的。你怎么知道路径是正确的？
@BarniWize-您可以调整 Dijkstra 算法的正确性证明以适用于此修改后的算法。假设您已经计算了一组节点 S 的最短交替路径，并且想要扩展该集合以包含一个新节点 v。我的主张是该算法将为您提供最短路径。要看到这一点，假设它没有。然后有一条通往节点 v 的路径从 S 开始，离开 S 的一条次优边，然后继续前进。但在这种情况下，从 v 到 S 的路径的成本超过了我的算法产生的路径，所以它不会更短......
@BarniWize- ...因此我的算法必须产生最短的交替路径。
@BarniWize- 还有另一种方法可以通过调整图表来实现，尽管我认为它的效率较低。另外，你能告诉我为什么你认为算法不正确吗？可能我弄错了，但从你的 cmets 我可以看出你认为不正确。
@BarniWize-我假设这是一个家庭作业问题（考虑到你的措辞），所以我将把细节留作练习。但是，只要您的递减键步骤始终忽略错误颜色的边缘，显示您始终获得合法路径应该很简单。

【解决方案2】：

您可以像 templatetypedef 建议的那样修改 Dijkstra 的算法，或者修改图形以适应约束。

您可以使用DFA 识别颜色约束，并将其与您的加权图结合以获得可以应用未修改的 Dijkstra 的图，从而实现典型的 Dijkstra 运行时。

约束的确切开销取决于 DFA 的大小，但它是恒定的，因为 DFA 不依赖于输入。

【讨论】：

这不是同一个算法，只是表达方式不同？无论哪种情况，您都只需通过 [node]x[edge color] 空间进行 Dijkstra。