我在 Sedgewick 的算法课程中提出了这个问题：“Critical edge。给定一个边加权有向图，设计一个 E*log(V) 算法来找到一条边，其移除会导致最大增加（可能无限）从s 到t 的最短路径的长度。假设所有边的权重都严格为正。（提示：从s 到v 计算最短路径距离d(v) 并考虑降低成本c′(v,w)=c(v,w)+d(v)−d(w) ≥ 0.)"
我在互联网上读到，三 (3) 人在 1989 年提出了一个复杂的算法O(E + V*log(V))，这需要高级数据结构，我认为它是在图表上（而不是有向图）。如果它有三位高级计算机科学家来开发这种算法，对于入门课程来说不是太大的问题吗？但也许对于 O(E*log(V)) 来说更容易。
你能帮我解决吗？我不明白问题中给出的提示。
【问题讨论】：
这是根据 Sedgewick 的提示在最短路径上找到临界边的算法草图。
首先，降低成本c′(v,w)=c(v,w)+d(v)−d(w)对应于最短路径长度的增加从 s 到 w，当在 w 之前经过 v 时。 （如果 v 是从 s 到 w 的最短路径，那么这个增加是 0。）（实际上 d(v) 是从 s 到 v 的最短路径的长度和 c(v, w) 从 v 到 w 的成本。）
假设从 s 到 t 的最短路径是 (s, ..., v, t) 并且我们删除最后一个边 (v, t)。那么从 s 到 t 的最短路径长度的增加等于所有 in 中 c'(u, t) 的最小值-edges (u, t)，带有 u != v。
假设 u 使得 c'(u, t) 是最小值（仍然是 u != v）。然后沿着从 s 到 u 的最短路径向后，直到到达一个顶点，比如说 w，属于从 的最短路径s 到 t（没有任何移除的边缘）。从 s 到 t 的最短路径类似于 (s, ..., w, ..., v, t)。
请注意，如果您删除 w 和 t 之间的任何边，您将获得最大的 c'(u, t)最短路径。实际上，如果缺少 w 和 t 之间的一条边，从 w 到 t 就足够了> 通过顶点u。另一方面，请注意删除最后一条边 (v, t) 会导致这种增加。
现在，只需用 w 迭代 t 所做的事情。找到一个顶点 x 使得 c'(x, w) 是最小值并且 x 不在最短路径上。沿着从 s 到 x 的最短路径向后移动，直到到达属于从 s 到 w 的最短路径的顶点>.
一旦您到达 s，您就可以确定要移除哪个顶点以最大程度地增加最短路径的长度。
【讨论】：
这是一个令人困惑的问题，我同意。以下是我的一些想法。
“降低成本”一词和定义用于将 A* search 算法简化为 Dijkstra 算法，将原始成本替换为降低成本：
c′(v,w) = c(v,w) - h(v) + h(w) = c(v,w) - (h(v) - h(w)) > 0
h(v) - h(w) 部分是启发式函数的一个下降，在一致（单调）启发式的情况下，它不应超过边缘成本，因此降低的成本仍然大于 0（参见幻灯片 14 和 15@ 987654322@)
看起来 Sedgewick 建议使用原始距离函数 (d(v)) 作为一致的启发式搜索 G' 中的新/替换最短路径，这与原始 G 相同，但删除了一个沿着从s 到t 的原始最短路径的边。不过，就个人而言，我看不出它如何有助于解决O(ElogV) 中最重要的边缘问题。
还有一个类似的问题：找出图中所有向下和向上的临界边。根据定义，降低向下临界边缘的成本会降低整体 SP 成本。增加向上临界边缘的成本会增加整体 SP 成本。所有关键边缘都可以在O(ElogV) 中找到，请参阅第 8 章here。但这并不能回答什么边缘是最关键的问题（移除时导致最大 SP 增加）。
正如您所指出的，最重要的边缘问题由 Malik、Mittal 和 Gupta (1989) 在
O(E + V*log(V)) 时间。我还没有找到原始的 MMG 论文，但 this presentation 解释得很好。据我所知，可以通过优先级队列来解决，不需要特定的数据结构。
很抱歉没有真正回答原始问题（使用降低成本的有向图中最重要的边缘的解决方案），但仍然希望上面的链接和想法可能对某人有用。我很高兴看到 Sedgewick 提出的解决方案。
【讨论】：