找到由马尔可夫链定义的图的第一个顶点的最长路径答案

【问题标题】：Find the longest path to the first vertex of graph defined by Markov chain找到由马尔可夫链定义的图的第一个顶点的最长路径
【发布时间】：2019-05-02 16:15:33
【问题描述】：

我需要定义一个马尔可夫链并用以下属性绘制它的图形：

有 4 个顶点
每个顶点都有相同的概率跳转到任何其他顶点 (0.25)
顶点S₁是起始顶点

下图是我认为的图表应该是什么样子，但如果我错了，请纠正我：

马尔可夫链是这样的吗？

如果是这样：

到 S₁ 的最短路径（计算边数）是什么？

那应该是1，因为有一条边返回到 S₁。

到 S₁ 的最长路径（计算边）是多少？

如果我们假设我们只通过每个顶点两次（一次来自前一个顶点，一次来自循环），那么应该是7。

但是概率呢？

【问题讨论】：

是的。零，你已经在那里了。他们呢？
我们有 1/4 的概率从 S2->S3->S4 跳转。我们可以假设在再次到达 S1 之前不重复任何跳跃吗？我的教科书中没有任何地方说我应该如何寻找最长的路径。所以我真的不知道如何计算它。如何考虑概率？
与许多概率谜题一样，提出正确的问题是最难的部分。如果从 S2 开始，S2->S3 的概率为 1/4，S2->S3->S4 的概率为 1/16。您想知道旅行者将访问所有其他顶点而不重新访问顶点的概率吗？或者他会这样做，然后在下一步返回起始顶点？
是的，那是一本非英语的教科书，所以我正在尽力翻译。问题是：“找到重新进入 S1 的最长路径”。或者据我所知，最多有多少。根据概率，在返回 S1 之前我必须访问哪些顶点？
最长的路径是四步。旅行者选择这样一条路径的概率为 (3/4)(2/4)(1/4)(1/4)=3/128。

标签： graph markov-chains

【解决方案1】：

如果问题是如何找到旅行者将走哈密顿循环（一条路径恰好访问每个节点一次然后返回起始节点）的概率：

调用起始节点S1，旅行者T。T的第一步必须是到某个other节点，而不是S1。三个这样的节点可用。这个概率是 3/4。

到达该节点后，称为 S2，T 必须继续前进到一个新节点，不是 S1 也不是 S2，而是其余两个节点之一。概率是 2/4。

已经完成了到我们称为 S3 的节点的那一步，T 只剩下一个节点可以访问，称为 S4。移动到 S1、S2 或 S3 意味着失败。迁移到 S4 的概率为 1/4。

已经到达 S4，T 的下一步必须回到 S1 而不是其他地方。这个概率是 1/4。

总概率：(3/4)(2/4)(1/4)(1/4) = 3/128。

【讨论】：