给出边的最小排列权重，使得给定的边集是最小生成树

Question

问题：

给定一个包含 N 个节点和 M 条边的图，边的索引从 1 -> M 开始。保证任意2个节点之间都有路径。

您需要为 M 条边分配权重。 权重在[1...M]的范围内，每个数字只能出现一次。

简而言之，答案应该是 [1...M] 的排列数组，其中 arr[i] = x 表示 edge[i] 的权重为 x。

给定一个由 n-1 条边组成的集合 R。 R 保证是图的生成树。

找到一种分配权重的方法，使 R 成为图的最小生成树，如果有多个答案，则打印具有最小字典顺序的答案。

约束：

N, M <= 10^6

示例：

边缘：

3 4
1 2
2 3
1 3
1 4

R = [2, 4, 5]

Answer: 3 4 5 1 2

说明：

如果您像上图那样为图形分配权重，则 MST 将是集合 R，并且它具有最小的字典顺序。

我对 O(N^2) 的看法：

因为它要求最小的字典顺序，所以我遍历边列表，以递增的顺序分配权重。最初，w = 1。可能有 3 种情况：

• 如果edge[i]在R中，赋权重[i] = w，w加1
• 如果边缘 [i] 不在 R 中：假设边缘 [i] 连接节点 u 和 v。为 R 中从 u 到 v 的路径中的每个边缘分配权重并增加 w（如果该边缘尚未分配） .然后为edge[i]分配权重并增加w
• 如果分配了 edge[i]，跳过它

有什么方法可以改进我的解决方案，使其可以在 O(N.logN) 或更短的时间内工作？

Answer 1

是的，有一个 O(m log m) 时间的算法。

非树边e的基本循环由e和端点之间的树中路径组成>e。给定权重，当且仅当对于每个非树边 e，e 的基本循环中最重的边是 e 本身，生成树是最小的。 p>

词典目标适用于贪心算法，我们找到边 1 的最低有效分配，然后边 2 给定边 1，然后边 3 给定前面的边，等等。这是核心思想：如果下一个未分配边是非树边，将下一个数字分配给其基本循环中未分配的树边；然后分配下一个数字。

在示例中，边 3-4 是第一个，边 1-3 和 1-4 完成其基本循环。因此，我们分配 1-3 → ​​1 和 1-4 → 2，然后是 3-4 → 3。接下来是 1-2，一个树边，所以 1-2 → 4。最后，2-3 → ​​5 (1-2和 1-3 已分配）。

为了有效地实现这一点，我们需要两个要素：一种在基本循环中枚举未分配边的方法，以及一种分配数字的方法。我对前者的建议是存储具有收缩指定边的生成树。我们不需要任何花哨的东西；首先将生成树植根于某处并运行深度优先搜索以记录父指针和深度。 e 的基本循环将由 e 端点的最小共同祖先的路径给出。为了进行收缩，我们添加了一个布尔字段来指示父边是否收缩，然后使用来自不相交集森林的路径压缩技巧。工作将是 O(m log m) 最坏情况，但 O(m) 平均情况。我认为很有可能可以在这里插入离线最不常见的祖先算法，以将最坏的情况降低到 O(m)。

至于数字分配，我们可以在线性时间内处理。对于每条边，记录导致它被分配的边的索引。最后，通过该索引稳定地进行桶排序，通过将树边缘放在非树之前来打破平局。这可以在 O(m) 时间内完成。