Prim 的最小生成树算法 - 算法混淆答案

【问题标题】：Prim's algorithm for minimum spanning trees - confusion in algorithmPrim 的最小生成树算法 - 算法混淆
【发布时间】：2009-12-19 05:12:32
【问题描述】：

我一直在学习 Cormen 等人的书，但我对他们提供的算法有点困惑。我已经通过 wikipedia 了解 Prim 算法的概念是如何工作的，但我无法使用我书中提供的算法来模仿这种工作方式。

请参阅该章节的在线副本： http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15451-s04/www/Lectures/minimumSpanningTrees.pdf

算法在上述链接的第 13 页给出，示例图在前一页。

现在，在示例案例中使用算法，第一步：

现在首先设置 v

但是算法说“对于 Adj[u] 中的每个 v”。

所以下一步应该设置v

啊啊啊！为什么？

【问题讨论】：

您不妨考虑在mathoverflow.net 上提出这个问题。
哇，这个问题在那边没有得到很热烈的欢迎。这不是我所期望的。

标签： algorithm minimum-spanning-tree prims-algorithm

【解决方案1】：

MO 的一个人很友好地通过电子邮件回答。问题是我没有注意到通过 ExtractMin(Q) 操作一次添加一个树节点。

这是他给的回复：

*您的分析实际上是完全正确的，但是您（和我）对更新 key[v] 和 pi(v) 的含义感到困惑。在特别是，当您更新 pi(v) 时，您不要将它添加到树中。一种节点 u 被添加到树中（沿着连接它的边父 pi(u)) 仅当它从 Q 中提取时。所以一切都进行就像你描述的那样，但最后，你只完成了一步 (a)，而不是步骤 (c)。这是该程序在其中的作用的简要说明案例：

（第 1-3 行）所有节点都放置在 Q 中（不在树），他们的父母被宣布为 NIL，他们的钥匙（即沿单个边缘到现有树的最小距离）设置为无限
（第4行）根节点（节点a）的key设置为0
（第 6 行）具有最小键的节点 u（即根节点 a）是从 Q 中移除并添加到树中
（第 8-11 行）节点 b 和 h 的键更新为 4 和 8，并且 pi(b) 和 pi(h) 设置为 u（但 b 和 h 不是从 Q 中提取的）。这样就完成了步骤 (a)
（第 6 行）具有最小键的节点 u（现在是节点 b，具有 key=4) 从 Q 中删除并通过其父级添加到树中（其中是 pi(b)=a)
（第 8-11 行）节点 c 的 key 更新为 8，pi(c) 设置为湾。由于key(h)=8小于11=w(b,h)，所以h的key和parent 不更新。这样就完成了步骤 (b)
（第 6 行）具有最小键的节点 u（节点 c，键 = 8，但它也可能是节点 h，它也有 key=8) 从 Q 中删除并通过其父级（即 pi(c)=b）添加到树中
（第 8-11 行）更新节点 d、i 和 f 的键和父节点，完成步骤 (c)
等*

【讨论】：

【解决方案2】：

您的描述是正确的，算法确实按照您在步骤 a 中的描述设置了 key[h] = 8。

步骤 c 有一个关键关系，您可以根据需要选择 h，但示例选择 c。

查看它的最佳方法是查看每个步骤（就在 ExtractMin 之前）优先级队列中的（非无限）元素：

1: Q = (a, 0)           - removes a, sets key[b]=4, key[h]=8
2: Q = (b, 4), (h, 8)   - removes b, sets key[c]=8
3: Q = (h, 8), (c, 8)   - could pick either h or c, they have the same key

【讨论】：