在 Python 中处理非常小的数字答案

【问题标题】：Handling very very small numbers in Python在 Python 中处理非常小的数字
【发布时间】：2019-11-09 22:50:49
【问题描述】：

我需要乘以 1e6 数量级的 0.01。预期结果为1e-100000000。显然，典型的浮点算法无法处理这个问题。

在网上做一些研究，我发现decimal library 似乎可以解决这个问题。然而，它似乎有一些限制，使其无法满足我的需求：

>>> Decimal('.01')**Decimal('1e5') # Seems to handle this
Decimal('1E-200000')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e5')*Decimal('1E200000') # Yeah! It works!
Decimal('1')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e6') # This result is strange...
Decimal('0E-1000026')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e6')*Decimal('0E1000026') # Wrong result
Decimal('0')

有人知道解决办法吗？

【问题讨论】：

您可以始终将指数保持在一个单独的 int 中，并将乘积保持在 0.5 和 1.0 之间。有很多可能性，这只是一个例子。例如，请参阅math.frexp()。也许记录日志是最简单的事情，这在一定程度上取决于您打算如何处理结果。

标签： python math decimal underflow

【解决方案1】：

你的结果不正确，因为小数也有精度（小数是定点数学），所以你也会在这里遇到下溢问题：

Decimal('.01')**Decimal('1e6')

十进制('0E-1000026')

但是：

getcontext().prec = 1000000000   # sets precision to 1000000000
Decimal('.01')**Decimal('1e6')

十进制('1E-2000000')

您可以通过手动设置精度（如上例）或手动计算幂来解决您的问题，例如：

Decimal('.01')**Decimal('1e6')

可以转换成

Decimal('1e-2') ** Decimal('1e6')

后来到

1 ** ((-2) ** 1e6) = 1 ** (-2000000)

Decimal module documentation

【讨论】：

【解决方案2】：

为什么不用对数？

你想计算：

RESULT  = x1 * x2 * x3 * x4 ... * xn

表示为：

ln(RESULT) = ln(x1) + ln(x2) + ln(x3) + ln(x4) ... + ln(xn)

如果您存储它们的自然对数，非常小的正数可以很好地存储到浮点数中：

ln(0.000001) ≈ -13.81551

不是存储数字本身，而是存储值的日志。

假设您将ln(0.0000011) 添加到自身10^6 次。你得到大约-13815510.558。与0.000001^(10^6) 相比，float 的精度损失更少

无论你最终得到什么数字，你都知道你的结果只是数字e 的幂。例如RESULT = e^-13815510.558

您可以使用下面的代码：

import math

class TinyNum:
    def __init__(self, other=None, *, pow=None):
        """
        x = TinyNum(0.0000912922)
        x = TinyNum("0.12345")     # strings are okay too
        x = TinyNum(pow = -110)    # e^-110
        y = TinyNum(x)             # copy constructor
        """
        if other:
            if isinstance(other, type(self)):
                self._power = other._power
            else:
                self._power = math.log(float(str(other)))
        else: # other == None
            self._power = float(str(pow))

    def __str__(self):
        return "e^"+str(self._power)

    def __mul__(lhs, rhs):
        rhs = type(lhs)(rhs)
        return type(lhs)(pow=lhs._power + rhs._power)

    def __rmul__(rhs, lhs):
        lhs = type(rhs)(lhs)
        return type(rhs)(pow=lhs._power + rhs._power)

    def __imul__(total, margin):
        total._power = total._power + type(total)(margin)._power


lyst = [
    0.00841369,
    0.004766949,
    0.003188046,
    0.002140916,
    0.004780032
]

sneaky_lyst = map(TinyNum, lyst)

print(math.prod(sneaky_lyst))

打印到控制台的消息是：

e^-27.36212057035477

【讨论】：