空间填充算法？答案

【问题标题】：Space filling algorithms?空间填充算法？
【发布时间】：2011-11-15 16:59:21
【问题描述】：

我现在正在解决一个我找不到名称的问题，所以在谷歌上搜索任何东西都是不可能的，因此我尝试在这里描述它。

假设我们在纸上得到了一个范围或一些主线。现在我们得到了许多长度随机可变的小线，而且它们已经指定了它们开始的范围。我需要选择一组这些较小的线，这样我们可以看到主线的空间将尽可能低。所以一般来说，我们试图用最有效地定义位置和长度的更小的块来覆盖主线。

除了回答如何执行此任务之外，我很高兴知道这个问题的名称，因为我确信这在编程时很常见，也可以推广到多于一个的维度..

正如 thiton 提醒我的那样，允许 ni 重叠（当然，否则就很废话了）

【问题讨论】：

指定问题很容易解决：选择所有行。还是禁止重叠？还是选择有什么成本？
这听起来类似于解决碎片。不同之处在于您的线条无法移动。
尝试查看听起来相关的knapsack problem（将权重换成长度作为衡量指标）
@thiton 当然，我忘了写，因为我还在考虑解决它，但不允许重叠.. 将添加该
如果您投反对票，我会很高兴，请说明原因。谢谢

标签： algorithm space fill

【解决方案1】：

这让我想起了http://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem，也许这有点帮助。

【讨论】：

【解决方案2】：

在我看来，这就像动态编程。首先，对区间进行排序，以便您可以按最右边点的非递减顺序处理它们。现在我们尝试为每个 x 找到覆盖点

处理完所有间隔后，您可以查看所有最佳解决方案，考虑到其中一些解决方案将在您的线路结束之前结束，然后选择总冠军。

【讨论】：

【解决方案3】：

在这个问题中，你有一组线段 L1...Ln，其中一些是重叠的。如果两条线段 Li 和 Lj 重叠，当你不能同时将它们放在解集中时；因此，每当两条线段重叠时，就会存在一个排他性约束，即只有一条线段可以出现在解决方案集中。现在每个线段也有长度，这是线段的“值”，你的问题相当于要求一组具有最大值但遵守所有排他性约束的线段，即没有重叠解决方案中的部分。原始问题是用欧几里得几何和实数来表述的这一事实并没有改变实际问题是组合的和有限性质的事实。

它不是 KNAPSACK 也不是 SET COVER。它看起来像一个加权SET PACKING（Wikipedia）的实例，但是这里的问题实例是否形成NP完全问题我不知道，因为原始问题的几何限制了可以生成的约束结构。不过很可能是这样。

更新

这是@mcdowella 下面的回答，它不是 NP 完全的，而是可以有效解决的问题的一个实例。有关所有链接和备注，请参阅下面的评论。

【讨论】：

我很高兴看到有人提到 NP 完备性并且实际上具有正确的可约性关系。我建议这个问题不是 NP 完整的，因为如果你对谷歌动态编程间隔的猜测足够多，你会发现 cs.princeton.edu/courses/archive/spr05/cos423/lectures/… 它以加权间隔调度的名义通过时间 n lg n 的记忆（O(n) 如果 pre-排序）。
@mcdowella 很棒的研究 :) 谢谢 :) +1

【解决方案4】：

这个问题几乎等同于 Set Cover problem，一个 NP 完全问题。不同之处在于 SCP 是用有限集表示的。您的版本可以在 O(K log K) 时间内（K = 子行数）转换为等效加权 SCP 问题，反之亦然，或在 O(L/e) 中转换为几乎等效的无加权 SCP 问题时间，L=主线长度和精度e。

维基百科SCP article 提到了三种近似方法：整数线性规划公式、命中集公式和贪心算法。

【讨论】：

【解决方案5】：

解决方案：选择所有线段。你不能做得更好，因为可能涵盖的每一点都将是。

【讨论】：