用python求解超越方程组

Question

假设我有以下四个方程：

1. cos(x)/x = a
2. cos(y)/y = b
3. a + b = 1
4. c sinc(x) = d sinc(y)

对于未知变量x, y, a 和b。请注意，cos(x)/x=a 有多种解决方案。变量y 也是如此。我只对 x 和 y 值感兴趣，它们是第一个正根（如果重要的话）。

您可以放心地假设a, b, c 和d 是已知的实常数，都是正数。

在 Mathematica 中，解决此问题的代码如下所示：

FindRoot[{Cos[x]/x == 0.2 a + 0.1, 
          Cos[y]/y == 0.2 b + 0.1, 
          a + b == 1.0, 
           1.03*Sinc[x] == Sinc[y]*1.02}, 
          {{x, .1}, {y, .1}, {a, .3}, {b, .1}}]

结果返回

{x -> 1.31636, y -> 1.29664, a -> 0.456034, b -> 0.543966}

虽然这很容易，但我不知道如何在 python 中做类似的事情。因此，如果有人能指导我（或简单地告诉我如何）解决这个问题，我将不胜感激。

Answer 1

你可以使用root:

import numpy as np
from scipy.optimize import root

def your_funcs(X):

    x, y, a, b = X

    f = [np.cos(x) / x - 0.2 * a - 0.1,
         np.cos(y) / y - 0.2 * b - 0.1,
         a + b - 1,
         1.03 * np.sinc(x) - 1.02 * np.sinc(y)]

    return f

sol2 = root(your_funcs, [0.1, 0.1, 0.3, 0.1])
print(sol2.x)

会打印出来

[ 1.30301572  1.30987969  0.51530547  0.48469453]

您的函数必须以它们评估为 0 的方式定义，例如a + b - 1 而不是 a + b = 1。

快速检查：

print(your_funcs(sol2.x))

给了

[-1.9356960478944529e-11, 1.8931356482454476e-11, 0.0, -4.1039033282785908e-11]

所以，解应该没问题（请注意e-11基本上是0）。

或者，您也可以使用fsolve：

from scipy.optimize import fsolve

sol3 = fsolve(your_funcs, [0.1, 0.1, 0.3, 0.1])

给你同样的结果：

[ 1.30301572  1.30987969  0.51530547  0.48469453]

您可以使用args 参数传递其他参数：

def your_funcs(X, fac_a, fac_b):

    x, y, a, b = X

    f = [np.cos(x) / x - fac_a * a - 0.1,
         np.cos(y) / y - fac_b * b - 0.1,
         a + b - 1,
         1.03 * np.sinc(x) - 1.02 * np.sinc(y)]

    return f

sol2 = root(your_funcs, [0.1, 0.1, 0.3, 0.1], args=(0.2, 0.2))
print(sol2.x)

它为您提供“旧”输出：

[ 1.30301572  1.30987969  0.51530547  0.48469453]

如果你跑了

sol2 = root(your_funcs, [0.1, 0.1, 0.3, 0.1], args=(0.4, 0.2))
print(sol2.x)

然后你会收到：

[ 1.26670224  1.27158794  0.34096159  0.65903841]