在 Python 中使用逆秒函数

Question

我正在创建一个程序，该程序可以计算从一系列高度和设定的初始速度发射弹丸的最佳角度。在我需要使用的最后一个等式中，存在一个反 sec 函数，它会引起一些麻烦。

我已导入数学并尝试使用 asec(whatever)，但似乎数学无法计算逆秒函数？我也知道 sec(x) = 1/cos(x) 但是当我将 1/cos(x) 代入方程并代数求解 x 时，它变成了一个非真实的结果：/。

我的代码如下：

print("This program calculates the optimum angles to launch a projectile from a given range of heights and a initial speed.")
x = input("Input file name containing list of heights (m): ")
f = open(x, "r")
for line in f:
    heights = line
    print("the heights you have selected are : ", heights)
f.close()

speed = float(input("Input your initial speed (m/s): "))
print("The initial speed you have selected is : ", speed)

ran0 = speed*speed/9.8 
print(ran0)

f = open(x, "r")
for line in f:
    heights = (line)
    import math
    angle = (math.asec(1+(ran0/float(heights))))/2
    print(angle)

f.close()

所以我的主要问题是，有没有办法在 python 中找到任何东西的倒数，而无需安装和导入其他东西？ 我意识到这可能是一个基于数学的问题，而不是一个编码问题，但是感谢任何帮助:)。

Answer 1

假设我们正在寻找实数x，其反正切角为θ。然后我们有：

θ = arcsec(x)
sec(θ) = x
1 / cos(θ) = x
cos(θ) = 1 / x
θ = arccos(1/x)

因此，根据这个推理，您可以将 arcsecant 函数编写为：

from math import acos

def asec(x):
    return acos(1/x)

Answer 2

“我也明白 sec(x) = 1/cos(x) 但是当我 sub 1/cos(x) ...” 你必须使用 sec 或 asec 吗？

因为sec(x)= 1/cos(x) 和asec(x) = acos(1/x)。注意符号 ^-1 不明确，cos^-1(x) = acos(x) 与 [cos(x)]^-1 不同。

angle = (math.asec(1+(ran0/float(heights))))/2

asec 不是从 -1 到 1 定义的 如果您的高度低于零，因此(ran0/float(heights)) 的结果介于 -2 和 0 之间，那么您的角度将是非实数。

我真的不知道这是否是您要求的，但我希望它有所帮助。

Answer 3

如果math 可以导入，则可以使用：

import math


def asec(x):
    if x == 0:
        return 1j * math.inf
    else:
        return math.acos(1 / x)

关于重写asec(x)的其他方式，请关注相关的Wikipedia article。

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或者，您可以使用Taylor series 扩展，它总是以多项式形式出现，因此，虽然这只是给定点附近的近似值，但它不需要math。

对于asec(x)，它的泰勒展开式在±∞（也称为Laurent series）is given by（不使用math）的邻域内：

def asec_taylor(x, pi=3.14159265):
    if x == 0:
        return 1j * float('inf')
    else:
        return pi / 2 - 1 / x - 1 / (6 * x ** 3) - 3 / (40 * x ** 5)

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您可以快速检查离 0 越远，近似值越好：

for x in range(-10, 10):
    print(x, asec(x), asec_taylor(x))

-10 1.6709637479564565 1.670963741666667
-9 1.6821373411358604 1.6821373299281108
-8 1.696124157962962 1.6961241346516926
-7 1.714143895700262 1.7141438389326868
-6 1.7382444060145859 1.7382442416666668
-5 1.7721542475852274 1.7721536583333335
-4 1.8234765819369754 1.823473733854167
-3 1.9106332362490186 1.910611139814815
-2 2.0943951023931957 2.0939734083333335
-1 3.141592653589793 2.8124629916666666
0 (nan+infj) (nan+infj)
1 0 0.32912965833333346
2 1.0471975511965979 1.0476192416666668
3 1.2309594173407747 1.2309815101851853
4 1.318116071652818 1.3181189161458333
5 1.369438406004566 1.3694389916666667
6 1.4033482475752073 1.4033484083333334
7 1.4274487578895312 1.4274488110673134
8 1.4454684956268313 1.4454685153483076
9 1.4594553124539327 1.4594553200718894

Answer 4

如果您可以尝试 sec 的倒数，那么它将与

>>>from mpmath import *
>>> asec(-1)

 mpf('3.1415926535897931')

这里是您可以更好地理解的链接 - [http://omz-software.com/pythonista/sympy/modules/mpmath/functions/trigonometric.html]