函数式编程公理答案

【问题标题】：Functional programming axioms函数式编程公理
【发布时间】：2017-10-03 16:05:49
【问题描述】：

我正在学习使用 Clojure 进行函数式编程，并希望加深对函数式范式（不仅仅是 Clojure 的语法）的理论理解。

我正在寻找 axioms 或 formulas 每种功能技术（如 recursion、map、reduce、cons、first ans rest 的关系彼此，哪个是可派生/可组合的，哪个是一切背后的终极公理。

例如，我意识到map只能使用recur、first、rest和cons函数来实现，当然映射函数本身也传递给map。

在那之后，我也意识到map 也可以使用reduce 来实现，而reduce 也可以使用recur、first 和rest 来实现。 filter 也可以用 reduce 来实现。

我觉得我开始专注于函数式编程，但仍然很难看出哪些是最终极的构建块，即哪些是抽象或的最小集合关键字 组成任意函数。对于地图示例，第二种方法使用较少的抽象来定位相同的目标。那么，有哪些功能范式的终极公理可以帮助我了解全局？

【问题讨论】：

在这种情况下，我建议您查看这本书：mitpress.mit.edu/books/little-schemer 这是对 FP 的精彩介绍，向您展示了如何仅使用基本数量的元素来制作事物。经典的SICP 也有很大帮助。两者都使用 lisp（确切地说是方案），因此很容易将您的理解转移到 clojure
函数式编程在很大程度上植根于拉姆达微积分，核心公理如下所示。
别忘了map也可以换成for

标签： function clojure functional-programming reduce higher-order-functions

【解决方案1】：

从 lambda（在 clojure 中称为 fn），您可以派生任何其他内容。例如，让我们做一个经典的练习，用fn 推导cons、first 和rest：

(defn cons [x y]
  (fn [f]
    (f x y)))

(defn first [coll]
  (coll (fn [x y] x)))

(defn rest [coll]
  (coll (fn [x y] y)))

因此，如果您想要一组用于函数式编程的公理，那么只有一个：lambda 是终极公理。有关如何推导其他特征的详细信息，请参阅以下文章：

经典的Lambda the Ultimate论文。
Programming with Nothing，一种更新的方法。这使用了 Ruby 语法，但这并不重要，因为它使用的唯一语言特性是 lambda。
SICP 也有关于从 lambda 派生 car/cdr/cons 的部分，作为解释抽象障碍价值的一部分：实现并不重要，只要它满足您建立的合同。当然，如果您对一般编程基础感兴趣，那么 SICP 是一本不错的读物。

从 cmets 看来，这个答案有很多困惑；没给没看过的人解释是我的错。

我们的想法不是重新实现 clojure 的所有内置 first/rest 功能，它们是适用于各种序列的高级多态事物。相反，我们实现了三个 cons/first/rest 函数，它们协同工作以允许您通过满足以下合约来构建集合：

(= x (first (cons x y)))
(= y (rest (cons x y)))

您可以仅使用 lambda 构建更复杂的东西，例如 clojure 的实际 first/rest，但您必须首先发明一个完整的类型系统，因此涉及更多。

这是一个示例 repl 会话，描述了本练习旨在演示的内容：

(defn cons [x y]
  (fn [f]
    (f x y)))

(defn first [coll]
  (coll (fn [x y] x)))

(defn rest [coll]
  (coll (fn [x y] y)))
user> (def integers (cons 0 (cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)))))
#'user/integers
user> integers
#object[user$cons$fn__2108 0x3fb178bd "user$cons$fn__2108@3fb178bd"]
user> (first integers)
0
user> (first (rest (rest integers)))
2

【讨论】：

这看起来很有希望，但即使我阅读了 clojure 文档，我也不明白。那些书中是否解释了这个“经典例子”？集合如何用作函数？我在 clojure REPL 中尝试过这个并得到错误IllegalArgumentException Key must be integer。
我也对这里发生的事情感到困惑。您正在使用函数为集合编制索引。
我的编辑改进了吗？ first 和 rest 没有错误；相反，预期的用途显然不清楚。
新示例有助于阐明coll 必须使用您的cons 函数构造； coll 不代表通用 Clojure 集合。
@amalloy，太优雅了！

【解决方案2】：

首先要了解列表在大多数函数式语言中是怎样的constructed，这意味着为什么将列表视为first 和rest 如此有意义。这个递归定义是理解更改它们的递归机制的关键。

我第一次接触 map/filter/fold 等的方式实际上是通过 haskell，它有表达事物类型的好处。这对初学者来说很有意义，至少对我来说是这样。

例如，map 有签名(a -> b) -> [a] -> [b] 读作：如果你有一个函数接受类型a 并将其转换为类型b，并且你给出类型a 的列表，那么 map 只会返回一个b 类型的列表。

您真正应该花时间理解的是fold（left 和right），其中reduce 是打字世界中的一个特例。一旦你觉得准备好了，我建议你回顾一下旧的A tutorial on the universality and expressiveness of fold

我强烈鼓励您尝试并实现您提到的所有内容，您对这些基本构建块及其依赖项的理解将会大大提高。在recur 和reduce 等方面实现减少（和两个折叠），实现map filter take 等。

【讨论】：

很好的练习，但是foldr 在 Clojure 中的用处远不如在 Haskell 中有用，因为我们缺乏持久的惰性。尝试自己实现它，然后在大型集合上实际使用它。 or :: [Bool] -> Bool; or = foldr (||) False 因为短路而非常适合大型集合，但 Clojure 中的版本并不好。
绝对同意你@amalloy。我认为对于刚开始学习折叠的人来说，了解折叠是什么以及它们之间的区别是一个很好的练习。

【解决方案3】：

例如，我认为您无法找到一组类似于概率论的简单公理。对于概率，只有 3 个基本公理：

对于每个事件 A，P[A] >= 0
P[“任何事件”] = 1
如果 A 和 B 互斥，则 P[ A 或 B] = P[A] + P[B]

令人惊讶的是，概率和统计中的所有内容都可以从这三个基本假设中推导出来。

“函数式编程”的定义不是很好。事实上，几乎每本关于该主题的书都以这样的观察开始：如果您请 100 位“专家”来定义函数式编程，您将收到 100 个相互不兼容的答案。这句话只是部分开玩笑。

关于函数式编程，你真正可以说的唯一一点是它比传统或“非函数式”语言更强调函数。这实际上更像是函数式语言或函数式编程风格的“目标”，而不是是/否的观察。

函数式编程的目标始终如一：通过更简单和更可靠来节省成本。当然，自从计算开始以来，每种语言和技术都有相同的游戏计划。 FP 主要通过以下方式实现它：

减少可变变量的使用
增加使用函数而不是手动循环

请注意，它说的是“减少”和“增加”，而不是“仅”和“从不”。决定这意味着什么是一个判断电话，答案会根据手头的问题和你问的人而改变。

请记住，问题和人员都会随着时间而变化。随着问题、人员、工具、硬件、价格等的变化，今天在成本、复杂性、效率、可维护性等之间进行“最佳”权衡的答案可能不会在一个月或一年内成为“最佳”答案随着时间的推移。

记住科学校长。它迫使您尝试事物（实验），而不仅仅是思考它们（理论）。所以你必须实际做一些事情并观察结果。

在软件中，这意味着以 2 种（或更多）方法解决问题，并比较每种方法的优缺点。

【讨论】：