如何为图论应用程序生成仅包含 0 和 1 以及其他限制的所有可能 (10x10) 矩阵

Question

编辑要求 6 并添加新要求
6) 正好 4 列/行的度数必须为 3。
7) 没有两个度数为 3 的顶点彼此相邻。

我的目标：
生成并保存满足特定要求的所有矩阵。然后将每个矩阵与之前手动输入的其他矩阵进行比较，以检查特定的相似性。如果有人认为这会有所帮助，我可以添加更多细节。我相信我已经整理出了代码的比较方面，所以我正在等待矩阵生成部分。我需要为多种尺寸执行此操作，但我将把这个问题集中在 10x10 的情况上。

具体要求：
1) 必须是 10x10 矩阵（表示 10 个顶点上的图）。
2) 必须是对称的（表示邻接矩阵）。
3) 对角线为 0（无循环）。
4) 只有 1 和 0（简单图）。
5) 整个矩阵必须正好有 48 个 1（图有 24 条边）。
6) 每列/行必须有 3 个或 6 个 1（每个节点为 3 或 6 级）。

应用：
我正在调查一个猜想，并相信我已经提出了一个可能的解决方案，可以将猜想分解成更小的部分，并可能证明某些方面。我想用蛮力来证明我的想法是否适用于一个小的特定案例。还具有适当的基本代码可以允许将来修改以测试其他可能的案例或想法。 想法和思考过程：

• 我使用图表的边缘来手动输入我的比较集。例如：

G9=graph([1 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 3 3 9 2 2 2 7 7 8],[2 3 4 3 4 4 5 6 7 6 7 7 3 9 10 9 10 10 7 8 9 8 9 9]);

• 我认为这是唯一一个符合前面列出的要求的图，直到同构。
• 我最初的想法是创建满足给定条件的可能矩阵，然后将它们与我的比较集进行比较。我仍然认为这是最好的方法。
• 我愚蠢地尝试生成随机矩阵，完全忽略了大量的可能性。使用 while 循环，我首先生成了一个满足前四个要求的随机矩阵。然后在单独的嵌套 for 语句中，我使用 numedes() 检查了要求 5，使用 all(mod(degree())) 检查了要求 6。出于几个相当明显的原因，这是一种糟糕的方法，但我在这个过程中学到了很多东西，这让我找到了应该进行最终比较的代码。
• 这是我第一次使用 Matlab，所以我边走边学。我已经在这个代码上工作了将近 2 周，不知道我想出的是否“好”，但我为自己能够做到的事情感到自豪。我已经到了需要一些外部建议的地步。我愿意接受任何建议和任何程度的帮助。引用源、功能建议、另一种方法或具有“即插即用”代码的完整解决方案将不胜感激。我不回避为实现我的目标而付出的努力。 我很感激任何反馈。

Answer 1

如果您想暴力破解它，您有 3773655750150 种可能的配置来测试 3 或 6 连接。我认为您可能需要更强大的数学（波利亚枚举定理？或我可能忘记的其他组合定理）来解决这个问题。

edit：这种递归解决方案受到更多限制，很可能在下个世纪完成。

E = containers.Map('KeyType', 'int32', 'ValueType', 'any');
for k = 0:9
    E(k) = [];
end

foo(E, 3, 0);
foo(E, 6, 0);

function E = foo(E, D, n)
    % E : graph edges (map)
    % D : degree (3 or 6)
    % n : current node

    if (n == 9)
        e_degree = cellfun(@length,E.values);
        if all(e_degree) && all(~mod(e_degree,3))
            print_E(E)
        end
        return
    end

    e = E(n); % existing edges
    m = setdiff((n+1:9), e); % candidate new edges
    K = D - length(e);
    % if too many edges, return early
    if (K < 0)
        return
    end
    C = combnk(m, K);

    N = size(C, 1);
    for k = 1:N


        c = C(k,:);
        E(n) = unique([e, c]);

        for kv = 1:K
            v = c(kv);
            E(v) = unique([E(v), n]);
        end

        % down the rabbit hole
        E = foo(E, D, n + 1);

        for D = 3:3:6
            E = foo(E, D, n + 1);
        end

        % remove edges added in this loop
        E(n) = setdiff(E(n), c);
        for kv = 1:K
            v = c(kv);
            E(v) = setdiff(E(v), n);
        end

    end

end

function print_E(E)
    for k = 0:9
        fprintf('%i: ',k);
        fprintf('%i ', E(k));
        fprintf('\n');
    end
    fprintf('\n');
end