没有 ε 的 RE 到 FSA 的转换

Question

我有一个正则表达式

10+(0+11)*1

如何将正则表达式更改为有限状态自动机？

Answer 1

一方面，在 RE 和 NFA 之间以及 NFA 和 DFA 之间的等价性证明中使用了算法。这是一种选择，不需要深入了解或理解 RE 生成的语言。

另一种选择是先尝试理解该语言，然后从头开始为该语言编写 DFA。

我将向您展示的方式涉及 Myhill-Nerode 定理，该定理说常规语言在不可区分关系上具有与该语言的最小 DFA 中的状态一样多的等价类。如果可以将相同的字符串集附加到它们以获得语言中的某些字符串，则两个字符串在语言方面是无法区分的。例如，字符串 a、b 和 ba 是可区分的 w.r.t。 L(ab) 因为 a 后面可以跟 b，b 后面只能跟空字符串，ba 后面跟什么都没有（空集）来得到 L 中的字符串。这告诉我们 a 的最小 DFAb至少需要三个状态。

对于您的语言，L(10 + (0 + 11)*1，我们观察到：

• 空字符串是我们首先看到的。它需要一个状态——DFA 的初始状态——并且可以跟在 L 中的任何字符串之后，以获取 L 中的一个字符串。将此状态称为 [e]。

• 字符串0后跟1可以得到该语言的字符串；这使它与空字符串不同，因此需要一个新状态。称之为 [0]。

• 字符串 1 后面可以跟空字符串以获取该语言中的另一个字符串；这使它与空字符串和字符串 0 区分开来。将其状态称为 [1]。

• 字符串 00 后面可以跟跟 0 完全相同的字符串，以获得语言中的字符串。这意味着 00 不需要新状态； 00 会将我们的 DFA 带到状态 [0]。

• 字符串 01 后面可以跟 1(0 + 11)*1 形式的字符串，以获取语言中的字符串。这是新的，所以我们需要一个新的状态。称之为 [01]

• 字符串 10 后面可以跟空字符串，只是为了得到 L 中的一个字符串。这是新的，所以称它的状态为 [10]。

• 字符串 11 后面可以跟跟 0 完全相同的字符串，以获得语言中的字符串。 11 会将我们的 DFA 带到状态 [0]。

• 字符串 010 永远不会导致该语言中的字符串；它必须在我们的最小 DFA 中导致死状态。称之为 [010]。

• 字符串 011 与字符串 0 和 11 无法区分。

• 字符串 100 和 101 不能导致语言中的字符串，所以它必须将我们的 DFA 带到死状态 [010]。

我们发现我们需要的状态是：[e]、[0]、[1]、[01]、[10] 和 [010]。过渡并不难弄清楚：

• [e] 在输入 0 和 1 上分别转换为 [0] 和 [1]
• [0] 在输入 0 和 1 上分别转换为 [0] 和 [01]
• [1] 在输入 0 和 1 上分别转换为 [10] 和 [0]
• [01] 在输入 0 和 1 上分别转换为 [010] 和 [0]
• [10] 转换为 [010] ob 输入 0 或 1
• [010] 总是转换到自身

您现在有一个适用于您的语言的最小 DFA，以及这种最小化的证明。