【发布时间】：2017-10-26 16:09:53
【问题描述】：
我正在尝试解决以下数学问题：
标准国际象棋中的马如下坐在棋盘上
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
马从“0”格开始，并根据国际象棋允许的走法跳到其他方格（因此在每个空间，它有两到四个有效走法）。骑士在每次跳跃时均匀地随机选择允许的移动，并跟踪它所着陆的键的运行总和 S。
一个。 T = 16 次移动后，量 S 模 13 的平均值是多少？
b.标准差是多少？
c。在 T = 512 次移动之后，量 S 模 311 的平均值是多少？
d。标准差是多少？
e。在 T = 16 次移动之后，如果总和能被 13 整除，那么和能被 5 整除的概率是多少？
f。在 T = 512 步之后，假设和能被 43 整除，那么和能被 7 整除的概率是多少？
到目前为止，我已经编写了一个计算S的概率质量函数（pmf）的程序：
from itertools import chain, product
import numpy as np
import pytest
def index_to_grid(index):
return index // 4, index % 4
def grid_to_index(i, j):
return 4*i + j
def in_board(i, j):
return (0 <= i < 4) and (0 <= j < 4)
def available_moves(index):
pos = np.array(index_to_grid(index))
knight_hops = [np.array(hop) for hop in chain(product([-2, 2], [-1, 1]), product([-1, 1], [-2, 2]))]
return set(grid_to_index(*newpos) for newpos in pos + knight_hops if in_board(*newpos))
def transition_matrix():
T = np.zeros((16, 16))
for i in range(16):
js = available_moves(i)
for j in js:
T[i, j] = 1/len(js)
return T
def calculate_S(N):
'''Calculate the matrix S(i, n) of the expected value of S given initial state i after n transitions'''
T = transition_matrix()
S = np.zeros((16, N+1))
for i in range(16):
S[i, 0] = i
# Use a bottom-up dynamic programming approach
for n in range(1, N+1):
for i in range(16):
S[i, n] = sum(T[i, j] * (i + S[j, n-1]) for j in range(16))
return S
以下是我迄今为止用来检查结果的一些单元测试：
def test_available_moves():
assert available_moves(0) == {6, 9}
assert available_moves(1) == {8, 10, 7}
assert available_moves(10) == {4, 1, 12, 3}
def test_transition_matrix():
T = transition_matrix()
assert T[0, 6] == T[0, 9] == 1/2
assert all(T[0, j] == 0 for j in set(range(16)) - {6, 9})
assert T[1, 8] == T[1, 10] == T[1, 7] == 1/3
assert all(T[1, j] == 0 for j in set(range(16)) - {8, 10, 7})
assert T[10, 4] == T[10, 1] == T[10, 12] == T[10, 3] == 1/4
assert all(T[10, j] == 0 for j in set(range(16)) - {4, 1, 12, 3})
def test_calculate_S():
S = calculate_S(2)
assert S[15, 1] == 15 + 1/2 * 6 + 1/2 * 9
assert S[4, 1] == 4 + 1/3 * 2 + 1/3 * 10 + 1/3 * 13
assert S[15, 2] == 15 + 1/2 * 9 + 1/2 * (1/4 * 0 + 1/4 * 2 + 1/4 * 7 + 1/4 * 15) \
+ 1/2 * 6 + 1/2 * (1/4 * 0 + 1/4 * 8 + 1/4 * 13 + 1/4 * 15)
if __name__ == "__main__":
pytest.main([__file__, "-s"])
例如，要计算 T = 16 后 S 本身的期望值，我会评估 calculate_S()[0, 16]。
问题是我无法将其推广到 S % 13 的预期值（S 模 13）。鉴于 13（以及后续问题中的所有“等价物”）都是素数，我怀疑使用“素数”可以进行关键观察，但到目前为止我还没有弄清楚是什么。有什么想法吗？
【问题讨论】：
标签： python algorithm markov-chains markov