无符号数的定点乘法

Question

我正在尝试用定点数解决乘法问题。数字是 32 位的。我的架构是 8 位的。所以这里是：

1. 我使用 8.8 表示法，即 8 表示整数，8 表示分数。

2. 我有 A78，即 10.468。我取它的二进制补码，答案是 FFFFF588，我将它截断为 16 位作为 F588 并存储它。原因是，我只想将两个 2 字节的数字相乘。

3. 现在，当我将此 F588（负 10.42 或 0x0A78）乘以 0xFF4B（即 0x00B5（0.707）的二进制补码）时，答案应该是 0x0766。或者类似的东西。

另一方面，我得到的是 66D8。

现在有趣的地方是：如果我将 B5 的负数存储在 32 位的二进制补码中，我得到 0xFF5266D8，我将其右移 8 位，然后截断为 16 位，答案是 0x5266。

另一方面，如果我将负数 10.42 存储在 32 位中，我得到 0xF58F66D8，在移位 8 位并截断后变为 8F66。

但是，如果我将这两个数字都存储为 32 位格式，那么只有在移位和截断后我才能得到正确的结果，即 0x0766。

为什么会这样？我知道当我们从 32 位到 16 位时，信息丢失是固有的，但是 0x07 与 0x55 有很大不同。我将非常感谢您的回复。

Answer 1

让我们只看整数表示。您有两个 16 位整数，x 和 y，并形成它们的 16 位二进制补码。但是，您将这些 16 位补码保存在 32 位对象中。在 32 位中，您拥有的是 65536–x 和 65536–y。 （例如，您从 0xa78 开始，将其补充为 0xfffff588，并丢弃位以获得 0xf588。等于 0x10000-0xa78。）

当您将这些相乘时，结果为 65536•65536 – 65536•x – 65536•y + x•y .

65536•65536 是 2³²，因此它消失了，因为无符号 32 位算术是以 2³² 为模执行的。你剩下 – 65536•x – 65536•y + x•y。

现在你可以看到问题了：x•y 是两个 16 位值的乘积，所以它流入了 32 位的高 16 位。在上面，你还有 - 65536•x - 65536•y，这是你不想要的。

一个简单的方法是通过乘法来保留补码的所有 32 位。例如，当你取 0xa78 的二进制补码时，你得到 0xfffff588。然后你丢弃了高位，只保留 0xf588。如果你不这样做，你会将 0xfffff588 乘以 0xffffff4b，乘积将是 0x766d8，当移动分数时，将是 0x766，这就是你想要的结果。

如果由于将二进制补码存储到 16 位对象中而丢失了高位，则只需在重新加载对象时通过扩展符号位来恢复它们。也就是说，取第 15 位并在第 16 位到第 31 位重复。一个简单的方法是将 16 位对象加载到 16 位有符号整数，然后将 16 位有符号整数转换为无符号 32-位整数。