我正在寻找一种算法来乘除定点 15.16 数字。
我已经有加减法了。这些很简单——简单的 32 位加减法。通过乘除法，我还可以添加许多三角函数和指数/对数函数。而且我想我可以只处理乘法，因为我的库有一个倒数函数，我可以用它来实现除法：a * (1/b) = a / b。但是 32 位乘法不起作用，因为它忽略了小数点。
我正在开发一个 16 位微控制器，因此我想避免超过 32 位乘法，这在我的处理器上大约需要 4 个周期。不过这并不重要，我只是想替换浮点数学。
我听说我需要移动或旋转结果，但我不确定这将如何帮助或具体如何移动它。任何建议或帮助表示赞赏！
【问题讨论】：
标签： fixed-point
想想是这样的：你的数字 a.b 表示为 (a.b * 65536)
如果你将 a.b * c.d 相乘，你得到的值是 (a.b * 65536) * (c.d * 65536)，所以要将它放回正确的表示中，你需要除以 65536。
当您将 a.b / c.d 相除时，您得到的值为 (a.b * 65536) / (c.d * 65536)，因此要将其放回正确的表示中，您需要乘以 65536。您应该在除法之前乘以 65536在结果中保留尽可能多的位。
当然，如果您的处理器速度更快，您可以用 (> 16) 替换为 (/ 65536)。
这里是 a.b * c.d:
uint32_t result_low = (b * d);
uint32_t result_mid = (a * d) + (b * c);
uint32_t result_high = (a * c);
uint32_t result = (result_high << 16) + result_mid + (result_low >> 16)
【讨论】：
首先理论：假设有符号数，将 Q15.16 乘以另一个 Q15.16 将得到 Q(15+15+1).(16+16) = Q31.32 数。因此，您需要一个 64 位整数变量来保存结果。
如果您的编译器有 64 位整数类型，只需使用它并让编译器弄清楚如何在 16 位 CPU 上执行 32 位 x 32 位乘法（这就是编译器的用途）：
int32_t a_15q16, b_15q16;
int64_t res_31q32 = (int64_t)a_15q16 * (int64_t)b_15q16;
您之后对 Q31.32 结果的处理取决于您的应用程序。
您可能想知道为什么结果需要 31 整数而不是 30。事实上，仅当您将 -2^15 乘以 -2^15 的情况下才需要额外的位。如果保证您的操作数永远不会同时等于 -2^15，则可以假设 Q30.32 结果。
要了解您的编译器是否支持 64 位整数，您可能需要查看编译器手册。如果这是 C99 编译器，请查看 stdint.h 标头中是否有 int64_t 类型。
【讨论】：
使用 64 位乘法可以轻松完成乘法运算：(a * b) >> 16。同样，除法也很容易用 64 位完成：(a << 16) / b。根据您的舍入/错误要求，您可能希望稍微复杂化，以使输出的最后一位正确。
【讨论】：