比较一对 3 个变量的数学方法

Question

我被分配在 Java 中比较一对 3 个正双变量，同时忽略它们的顺序。 我做了以下事情：

if ((a1 == a2 && b1 == b2 && c1 == c2) ||
    (a1 == a2 && b1 == c2 && c1 == b2) ||
    (a1 == b2 && b1 == a2 && c1 == c2) ||
    (a1 == b2 && b1 == c2 && c1 == a2) ||
    (a1 == c2 && b1 == a2 && c1 == b2) ||
    (a1 == c2 && b1 == b2 && c1 == a2))
    // if true

我从老师那里听说，有一种数学方法可以比较这对 3 个数字。

到目前为止，我已经尝试比较它们的加法、减法以及它们的幂之和乘以 2，但我总是发现一对不同的情况并且陈述是正确的。

有什么想法吗？

编辑：

我已经发了作业，老师说我的回答是真的。我是出于好奇而问的。

Answer 1

TL;DR

比较每个三元组的总和、每个三元组的乘积以及每个三元组所有可能组合的乘积之和。

细枝末节

根据Fundamental Theorem of Algebra，对于N次多项式，我们必须有N个根。

利用这个事实，我们将零设为a1, a2, and a3。现在，我们找到这个多项式的系数。

(x - a1) * (x - a2) * (x - a3)
(x^2 - (a1 + a2) * x + a1a2) * (x - a3) 
x^3 - (a1 + a2) * x^2 + (a1a2) * x - a3 * x^2 + (a1a3 + a2a3) * x - a1a2a3

x^3 + (-1 * (a1 + a2 + a3)) * x^2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3) * x + (-1 * a1a2a3)

如果两个多项式等价，它们必须有相同的根（同样由 FTA）。因此，我们需要做的就是比较生成的多项式的系数。

所以，如果，

(-1 * (a1 + a2 + a3) == (-1 * (b1 + b2 + b3))
      ---equivalently---
a1 + a2 + a3 == b1 + b2 + b3

和

(a1a2 + a1a3 + a2a3) == (b1b2 + b1b3 + b2b3)

和

-1 * a1a2a3 == -1 * b1b2b3
      ---equivalently---
a1a2a3 == b1b2b3

那么我们可以得出结论a1, a2, a3 和b1, b2, b3 三元组是等价的。

值得吗？

从实际的角度来看，让我们看看这是否确实比 OP 所示的蛮力检查更有效。

第一次检查：求和和比较。这需要总共 4 次加法和 1 次相等性检查。

检查总数 = 5；运行总数 = 5

第二次检查：Product、Sum 和 Compare。这需要 6 次乘法、4 次加法和 1 次相等性检查。

检查总数 = 11；运行总数 = 16

第三次检查：产品和比较。这需要总共 4 次乘法和 1 次相等性检查。

检查总数 = 5；运行总数 = 21

将两个逻辑与运算相加，“生成多项式方法的系数”的二进制运算总数只需要：

23 次二元运算

蛮力检查总共需要 18 次相等检查、12 次逻辑 AND 比较和 5 次逻辑 OR 比较，总共：

35 次二元运算

所以，严格来说，答案是肯定的，“生成多项式方法的系数”确实更有效。然而，正如@WJS 指出的那样，蛮力方法为short circuiting 提供了更多的机会，因此执行比数学方法更有效。

为了完全彻底

我们不能跳过检查每个三元组所有可能组合的乘积之和。如果我们忽略这一点，就会有无数失败的例子。考虑(23, 32, 45) 和(24, 30, 46)^*：

23 + 32 + 45 = 100
24 + 30 + 46 = 100

23 * 32 * 45 = 33120
24 * 30 * 46 = 33120

它们不等价，但给出相同的总和和乘积。然而，它们并没有给出所有可能组合的乘积之和：

23 * 32 + 23 * 45 + 32 * 45 = 3211
24 * 30 + 24 * 46 + 30 * 46 = 3204

^*如果有人好奇如何推导出类似于上述示例的示例，首先生成整数的所有整数分区M长度为 3，取出他们的产品，找到重复的，然后选择一对。

Answer 2

如果允许您进行排序（a1