R组合将N分成子n [关闭]

Question

我正在使用一种算法，该算法将根据总体样本大小计算所有可能的 bin 样本大小。所以我想用 sum(n_i) = N 和 n_i >= 1 的约束来计算 n_i 的所有组合。

例如 N = 10，我有 4 个 bin 样本，一些可能的组合可能是

2,3,2,3 另一个 1,1,1,7等

理想情况下，该函数将采用两个参数

bins = 4
N = 10

并返回所有组合，谢谢

Answer 1

这个问题本质上是递归的，最好通过使用带有记忆的动态编程来解决（因为具有相同参数值的递归函数将被多次调用，记住已经计算的值是有意义的）。

让我们定义函数partition(n,k) 来表示所有k-tuples (x1,x2,...,xk) s.t. 的集合。 x1+x2+...+xk=n 与每个 xi >= 1（换句话说，将 n 划分为 k 非空子集）。下图展示了使用自顶向下递归会遇到过多的冗余计算：

正如我们所见，partition(n,k) 可以通过组合来自所有i=1,2,...n-1 的partition(n-i,k-1) + [i] 的结果来计算。让我们将函数partition(n,k) 的值存储为D[n,k]（实现为list of lists）。

partition <- function(n, k, lst) {

  DT <- rep(list(list()),n*k) # the dynamic programming table as list of lists
  for (i in 1:n) {
    DT[[i]][[1]] <- list(i)
  }

  for (i in 2:n) {
    for (j in 2:k) {
      temp <- list()
      for (m in 1:(i-1)) {
        if (i-m >= j-1) {
          temp <- c(temp, lapply(DT[[i-m]][[j-1]], function(x) c(x,m)))
        }
      }
      DT[[i]][[j]] <- temp
    }
  }

  return(DT[[n]][[k]]) 

}    

partition(10,4,list())

# output
[[1]]
[1] 7 1 1 1

[[2]]
[1] 6 2 1 1

[[3]]
[1] 5 3 1 1

[[4]]
[1] 4 4 1 1

[[5]]
[1] 3 5 1 1

[[6]]
[1] 2 6 1 1

[[7]]
[1] 1 7 1 1

[[8]]
[1] 6 1 2 1

[[9]]
[1] 5 2 2 1

[[10]]
[1] 4 3 2 1

[[11]]
[1] 3 4 2 1

[[12]]
[1] 2 5 2 1

[[13]]
[1] 1 6 2 1

[[14]]
[1] 5 1 3 1

[[15]]
[1] 4 2 3 1

[[16]]
[1] 3 3 3 1

[[17]]
[1] 2 4 3 1

[[18]]
[1] 1 5 3 1

[[19]]
[1] 4 1 4 1

[[20]]
[1] 3 2 4 1

[[21]]
[1] 2 3 4 1

[[22]]
[1] 1 4 4 1

[[23]]
[1] 3 1 5 1

[[24]]
[1] 2 2 5 1

[[25]]
[1] 1 3 5 1

[[26]]
[1] 2 1 6 1

[[27]]
[1] 1 2 6 1

[[28]]
[1] 1 1 7 1

[[29]]
[1] 6 1 1 2

[[30]]
[1] 5 2 1 2

[[31]]
[1] 4 3 1 2

[[32]]
[1] 3 4 1 2

[[33]]
[1] 2 5 1 2

[[34]]
[1] 1 6 1 2

[[35]]
[1] 5 1 2 2

[[36]]
[1] 4 2 2 2

[[37]]
[1] 3 3 2 2

[[38]]
[1] 2 4 2 2

[[39]]
[1] 1 5 2 2

[[40]]
[1] 4 1 3 2

[[41]]
[1] 3 2 3 2

[[42]]
[1] 2 3 3 2

[[43]]
[1] 1 4 3 2

[[44]]
[1] 3 1 4 2

[[45]]
[1] 2 2 4 2

[[46]]
[1] 1 3 4 2

[[47]]
[1] 2 1 5 2

[[48]]
[1] 1 2 5 2

[[49]]
[1] 1 1 6 2

[[50]]
[1] 5 1 1 3

[[51]]
[1] 4 2 1 3

[[52]]
[1] 3 3 1 3

[[53]]
[1] 2 4 1 3

[[54]]
[1] 1 5 1 3

[[55]]
[1] 4 1 2 3

[[56]]
[1] 3 2 2 3

[[57]]
[1] 2 3 2 3

[[58]]
[1] 1 4 2 3

[[59]]
[1] 3 1 3 3

[[60]]
[1] 2 2 3 3

[[61]]
[1] 1 3 3 3

[[62]]
[1] 2 1 4 3

[[63]]
[1] 1 2 4 3

[[64]]
[1] 1 1 5 3

[[65]]
[1] 4 1 1 4

[[66]]
[1] 3 2 1 4

[[67]]
[1] 2 3 1 4

[[68]]
[1] 1 4 1 4

[[69]]
[1] 3 1 2 4

[[70]]
[1] 2 2 2 4

[[71]]
[1] 1 3 2 4

[[72]]
[1] 2 1 3 4

[[73]]
[1] 1 2 3 4

[[74]]
[1] 1 1 4 4

[[75]]
[1] 3 1 1 5

[[76]]
[1] 2 2 1 5

[[77]]
[1] 1 3 1 5

[[78]]
[1] 2 1 2 5

[[79]]
[1] 1 2 2 5

[[80]]
[1] 1 1 3 5

[[81]]
[1] 2 1 1 6

[[82]]
[1] 1 2 1 6

[[83]]
[1] 1 1 2 6

[[84]]
[1] 1 1 1 7

如果我们想要唯一的分区，丢弃顺序，我们可以对每个列表进行排序，然后取出唯一的，如下所示。

unique(lapply(partition(10,4,list()), function(x)sort(x)))
[[1]]
[1] 1 1 1 7

[[2]]
[1] 1 1 2 6

[[3]]
[1] 1 1 3 5

[[4]]
[1] 1 1 4 4

[[5]]
[1] 1 2 2 5

[[6]]
[1] 1 2 3 4

[[7]]
[1] 1 3 3 3

[[8]]
[1] 2 2 2 4

[[9]]
[1] 2 2 3 3