查找具有排序但不重复的k-排列数[关闭]

Question

我正在努力为 cardinality n 的集合 S 的 k-permutations 的数量找到一个封闭形式。

组合应考虑顺序，但不能重复。

例子：

|S| = n = 3 
S = {a,b,c}
k = 2

{a,b}
{b,a}
{b,c}
{c,b}
{a,c}
{c,a}

谁能帮我弄清楚如何计算可行排列的数量（而不是排列本身）？

我尝试过的： 我已经阅读了不同的材料并发现，包括 repititions 它是

O(n) = n^k

我最初的想法是，我需要消除像

这样的排列

{a,a}
{b,b}
{c,c}

但我很难找到可感知重复次数的封闭形式。

Answer 1

您正在寻找基数 n 的集合 S 的 k 排列数。

公式众所周知：n!/(n-k)!

伪证明：

• 对于第一个元素，您可以在 S 的 n 个元素中进行选择；
• 第二个，只在：n-1 之间，因为你不想要双头；
• ...
• 对于第 i 个，仅在：n-(i-1) 中；
• ...
• 第k个，仅在：n-(k-1)中；

所以，最后： n * (n-1) * ... * (n-i) * ... * (n-k+1) = n！ / (n-k)!