如何随机生成满足 P[i] != i 的前 n 个自然数的排列 P？ [复制]答案

【问题标题】：How to randomly generate a permutation P of the first n natural numbers that satisfies P[i] != i? [duplicate]如何随机生成满足 P[i] != i 的前 n 个自然数的排列 P？ [复制]
【发布时间】：2017-06-12 06:41:27
【问题描述】：

我想随机生成前 n 个自然数的排列 P，并且它必须满足每个 i<n 的 P[i] != i。

我怎样才能有效地做到这一点？

我想出的第一个方法就是迭代地为每个位置随机选择合法数字。但是我发现它似乎并不能保证随机性。

例如在4个号码的情况下，如果我（随机）选择2,3作为前两个号码，那么最后两个号码的配置可以是0,1或1,0。如果我碰巧选择1,2 作为前两个，那么剩下的唯一可用选项是3,0，因为最后一位不能是3。所以看来1,2,3,0的概率是2,3,0,1的两倍吧？

另外一个办法就是随机生成一个排列，如果不满足条件就拒绝，但是这个时间复杂度不能保证。

【问题讨论】：

你的意思是“均匀分布”。 “随机”并不是说概率相等。
@Henry 对，我的意思是“均匀分布”确实
您可以使用Fisher-Yates Shuffle 来随机化初始序列。万一，一个元素被错误地放置，将它与它的邻居交换。如果错误放置了更多元素，请对这些元素执行第二次 Fisher-Yates shuffle。
对于较大的 n，排列没有固定点的概率趋于 1/e。因此，拒绝具有固定点的排列的策略平均需要 e (2.718...) 次尝试。在无限制排列的生成过程中，如果您检测到将有一个固定点来加快处理速度，您也可以“快速失败”。所以这在实践中不应该表现得太糟糕。
@Henry 很高兴知道这一点，谢谢

标签： algorithm random combinations permutation

【解决方案1】：

您可以对Fisher-Yates shuffle 进行反复试验。用固定点计算排列P 的概率是1-1/e，这意味着预期的试验次数是e（或大约三个）。

这里我使用了一个已知事实，如果投掷有偏硬币时看到正面的概率是p，那么在获得第一个正面之前的预期试验次数是1/p。

那么总的预期运行时间是O(n)。

还请注意，这是渐近最优的，因为任何计算没有固定点的随机排列的算法都必须触及所有元素。

伪代码：

generateRandomPermutation(n)
    do
        generate a random permutation P of {1,2,3,...,n} with Fisher-Yates // O(n)
    while there exists i with P[i] = i // Expected nr of iterations is e
    return P

【讨论】：

@JohnColeman 啊，我误解了这个问题。我认为我们得到了一个整数i，它不能被修复（这是唯一的约束）；在这种情况下，我的论点有效。如果问题是找到一个没有固定点的排列，那么可以，我们期望进行三次（实际上是e）迭代。感谢您的提醒；我更新了答案。
OP 的问题表述得不是很清楚，因为他们忽略了量化i。你原来的解释很合理。作为一种优化，您可以在看到固定点后立即将 Fisher-Yates 短路，但在具有内置 shuffle 的语言中，这可能不值得麻烦。