如何列举所有可能的决策规则
任意一组输入变量？
首先通过分析和理解当我们根据输入变量的数量 (n) 写下决策规则 (R) 的二进制 permutations 时可见的重复模式 （五）。然后构建一组函数，这些函数会自动生成这些排列并显示一个包含结果的表格，就像您手动完成一样。
在代码方面，有许多不同的有效方法可以解决这个问题，但从我的角度来看，我认为使用逻辑矩阵是一种很好的方法。我将调用此矩阵 (M)。该矩阵包含三个部分（如您描述中的表格）：
- 左：
n 输入变量 (V) 列
- 中心：
1 决策列 (D)
- 右：
2^(2^n) 决策规则列 (R)
由于您的问题有两个决定（A 和 B），我们也可以将它们视为逻辑值：
注意：我为 A 和 B 选择了这个值，而不是相反的值，因为它允许我们生成输入变量的二进制排列（我将称之为“states”）（ V) 和决策 (D) 使用自然二进制计数。
对于n = 0，M 看起来像：
0 0 1
1 1 0
对于n = 1，M 看起来像：
0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
对于n = 2，M 看起来像：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
正如你所说，M 的大小增长得很快：
- 行（“状态”）以
2^(n + 1) 的速度增长
- 列以
(n + 1) + 2^(2^n) 的速率增长：n 输入变量列 + 1 决策列 (D) + 2^(2^n) 决策规则列 (R)。
从前面的矩阵中，我们几乎无法区分任何重复的模式，但如果我们使用颜色，我们可以清楚地看到决策规则 (R) 区域中的一些模式：
对于n = 0：
对于n = 1：
对于n = 2：
我们可以看到有相同“单位模式”（盒装数字）的逐行副本。每个“单元模式”是2 行宽和2^(2^n)/k 列宽（其中k 是每两行模式的重复次数）。 M 中的第一个模式始终是单个副本 (k = 1)，k 每 2 行重复一次。
我们将使用所有这些信息创建一组函数，使我们能够通过使用我将调用的table (T) 枚举所有可能的决策规则。
我写了一个名为CalcParams的函数，它根据n计算问题的所有必要参数（如M的行数和列数等）：
function[a, b, c, d, e] = CalcParams(n)
% Calculate necessary parameters.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Number of states (rows).
a = 2^(n + 1);
% Number of decision rules (R) (decision rules columns).
b = 2^(2^n);
% Column index of first decision rule (R1).
c = n + 2;
% Number of columns of input variables (V) and decision (D).
d = n + 1;
% Total number of columns.
e = d + b;
end
然后我写了一个名为ValidDecRules的函数，它给出了n和M，检查输入的决策规则是否满足要求：
对于输入变量的任何组合，只有一个决策是可能的。
如果决策规则满足要求，则函数返回1并显示消息VALID decision rules，否则函数返回0并显示消息INVALID decision rules。
function[val] = ValidDecRules(n, M)
% This function checks if the input decision rules meet the requirement:
% For any combination of input variables only one decision is possible.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% M - binary matrix.
% Calculate necessary parameters.
[~, ~, c, ~, e] = CalcParams(n);
% Invalid decision rules by default.
val = 0;
% Extract odd rows from decision rules (R).
M_odd = M(1:2:end, c:e);
% Extract even rows from decision rules (R).
M_even = M(2:2:end, c:e);
% Check that all elements of the odd rows are different than the elements
% of the even rows.
if(all(all(M_odd ~= M_even, 1), 2))
% Valid decision rules.
val = 1;
disp('VALID decision rules');
else
% Invalid decision rules.
disp('INVALID decision rules');
end
end
然后我写了一个名为GenM的函数，它基于n生成二进制矩阵M，如果你使用可选参数'plot'，它将使用imagesc绘制M的决策规则.
function[M] = GenM(n, varargin)
% This function generates the binary matrix M.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Options:
% 'plot' - plot decision rules of M.
% Calculate necessary parameters.
[a, b, c, d, e] = CalcParams(n);
% Anonymous functions.
f1 = @(v, k) uint8(repmat(v, 1, k));
f2 = @(v, k) f1([v; ~v], k);
f3 = @(b, k) f2([false(1, b/(2*k)), ~false(1, b/(2*k))], k);
% Binary permutations of input variables (V) and decision (D).
Dec = 0:a-1; % Array: decimal representation of every state.
Bin = dec2bin(Dec); % Array: binary representation of every state.
% Preallocate matrix M.
M(length(Bin), d) = 0;
% Loop: input variables (V) and decision (D).
% Writes binary states in matrix M.
for i = 1:d
M(:, i) = uint8(str2num(Bin(:, i)));
end
% Loop: decision rules.
% Writes binary permutations of decision rules (R) in matrix (M).
% Start with k = 1.
k = 1;
for i = 1:2:a
M(i:(i + 1), c:e) = f3(b, k);
k = k*2;
end
% Continue only if decision rules (R) are valid.
if(ValidDecRules(n, M))
% Plot decision rules if 'plot' option is used.
if(~isempty(varargin))
if(any(strcmp(varargin, 'plot')))
% Visualize decision rules as image.
imagesc(M(:, c:e));
title('Decision Rules (R)');
colormap summer;
axis off;
end
end
else
% If decision rules are invalid, return empty output.
M = [];
end
end
最后，我编写了一个名为EnumDecRules 的函数，它采用n 并生成一个表T，与您问题描述中的表非常相似。该函数还返回用于生成T 的二进制矩阵M。如果您使用'plot' 可选参数，它将绘制M 的决策规则（如GenM 函数）。
EnumDecRules 函数能够真正回答您的问题，因为它具有您所要求的行为。
function[T, M] = EnumDecRules(n, varargin)
% This function generates the table (T) with the results and also returns
% the binary matrix M that was used to generate T.
% Inputs:
% n - number of input variables.
% Options:
% 'plot' - plot decision rules of M.
% Calculate necessary parameters.
[a, ~, ~, d, e] = CalcParams(n);
% Generate the binary matrix M.
M = GenM(n, varargin{:});
if(~isempty(M))
% Loop: variable names to diplay in table header.
% Initialize indexes for numbering.
Vi = 1; % Input variable numbering index.
Ri = 1; % Decision rules numbering index.
for i = 1:e
if i <= n
% Input variables.
% Write V[Vi].
Names{i} = ['V', sprintf('%d', Vi)];
% Increase index.
Vi = Vi + 1;
elseif i == d
% Decision.
% Write D.
Names{i} = 'D';
elseif i > d
% Decision rules.
% Write R[Ri].
Names{i} = ['R', sprintf('%d', Ri)];
% Increase index.
Ri = Ri + 1;
end
end
% Generate table with results.
T = array2table(M, ...
'VariableNames', Names);
% Modify decision column (D) of table.
% Replace 0 with 'A'.
% Replace 1 with 'B'.
T.D = repmat({'A'; 'B'}, a/2, 1);
else
% If M is empty, return empty output.
T = [];
end
end
使用示例：
确保将所有函数正确保存在同一目录中。
示例 1：
调用EnumDecRules 函数枚举n = 1 的所有可能决策规则：
[T, M] = EnumDecRules(1)
这些是输出：
VALID decision rules
T =
V1 D R1 R2 R3 R4
__ ___ __ __ __ __
0 'A' 0 0 1 1
0 'B' 1 1 0 0
1 'A' 0 1 0 1
1 'B' 1 0 1 0
M =
0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
示例 2：
调用EnumDecRules 函数枚举n = 2 的所有可能决策规则，并绘制决策规则：
[T, M] = EnumDecRules(2, 'plot')
这些是输出：
VALID decision rules
T =
V1 V2 D R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16
__ __ ___ __ __ __ __ __ __ __ __ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
0 0 'A' 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 'B' 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 'A' 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 'B' 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 'A' 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 'B' 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 'A' 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 'B' 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
M =
Columns 1 through 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 0 1 0 1 0
Columns 10 through 18
0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1
Column 19
1
0
1
0
1
0
1
0
还有剧情：
由于这种类型的算法增长如此之快，将EnumDecRules 或GenM 用于n >= 5 可能会导致内存不足错误。
我真的希望这会有所帮助。如果您对代码的具体说明有任何疑问，请发表评论，我很乐意为您解答。