你如何计算 Python 中 Pearson's r 的置信区间？答案

【问题标题】：How do you compute the confidence interval for Pearson's r in Python?你如何计算 Python 中 Pearson's r 的置信区间？
【发布时间】：2016-01-15 12:50:58
【问题描述】：

在 Python 中，我知道如何使用 scipy.stats.pearsonr 计算 r 和相关的 p 值，但我无法找到计算 r 置信区间的方法。这是怎么做到的？感谢您的帮助:)

【问题讨论】：

Equivalent of R's of cor.test in Python的可能重复

标签： python statistics scipy pearson

【解决方案1】：

使用 rpy2 和心理测量库（您需要安装 R 并首先在 R 中运行 install.packages("psychometric")）

from rpy2.robjects.packages import importr
psychometric=importr('psychometric')
psychometric.CIr(r=.9, n = 100, level = .95)

其中 0.9 是您的相关性，n 是样本量，0.95 是置信水平

【讨论】：

【解决方案2】：

根据[1]，直接用Pearson r计算置信区间是复杂的，因为它不是正态分布的。需要以下步骤：

将 r 转换为 z'，
计算 z' 置信区间。 z' 的抽样分布近似正态分布，标准误为 1/sqrt(n-3)。
将置信区间转换回 r。

以下是一些示例代码：

def r_to_z(r):
    return math.log((1 + r) / (1 - r)) / 2.0

def z_to_r(z):
    e = math.exp(2 * z)
    return((e - 1) / (e + 1))

def r_confidence_interval(r, alpha, n):
    z = r_to_z(r)
    se = 1.0 / math.sqrt(n - 3)
    z_crit = stats.norm.ppf(1 - alpha/2)  # 2-tailed z critical value

    lo = z - z_crit * se
    hi = z + z_crit * se

    # Return a sequence
    return (z_to_r(lo), z_to_r(hi))

参考：

http://onlinestatbook.com/2/estimation/correlation_ci.html

【讨论】：

【解决方案3】：

bennylp 给出的答案大部分是正确的，但是在第三个函数中计算临界值时有一个小错误。

应该是：

def r_confidence_interval(r, alpha, n):
    z = r_to_z(r)
    se = 1.0 / math.sqrt(n - 3)
    z_crit = stats.norm.ppf((1 + alpha)/2)  # 2-tailed z critical value

    lo = z - z_crit * se
    hi = z + z_crit * se

    # Return a sequence
    return (z_to_r(lo), z_to_r(hi))

这里还有一个帖子供参考：Scipy - two tail ppf function for a z value?

【讨论】：

@bennylp 的答案是正确的，它只是假设您将 alpha 值传递给 alpha，而您的假设您正在传递 1 - alpha。即对于 95% 的置信区间，他的函数 alpha=0.05 和你的函数 alpha=0.95 给出相同的答案。

【解决方案4】：

这是一个使用自举来计算置信区间的解决方案，而不是 Fisher 变换（假设二元正态性等），借用自 this answer：

import numpy as np


def pearsonr_ci(x, y, ci=95, n_boots=10000):
    x = np.asarray(x)
    y = np.asarray(y)
    
   # (n_boots, n_observations) paired arrays
    rand_ixs = np.random.randint(0, x.shape[0], size=(n_boots, x.shape[0]))
    x_boots = x[rand_ixs]
    y_boots = y[rand_ixs]
    
    # differences from mean
    x_mdiffs = x_boots - x_boots.mean(axis=1)[:, None]
    y_mdiffs = y_boots - y_boots.mean(axis=1)[:, None]
    
    # sums of squares
    x_ss = np.einsum('ij, ij -> i', x_mdiffs, x_mdiffs)
    y_ss = np.einsum('ij, ij -> i', y_mdiffs, y_mdiffs)
    
    # pearson correlations
    r_boots = np.einsum('ij, ij -> i', x_mdiffs, y_mdiffs) / np.sqrt(x_ss * y_ss)
    
    # upper and lower bounds for confidence interval
    ci_low = np.percentile(r_boots, (100 - ci) / 2)
    ci_high = np.percentile(r_boots, (ci + 100) / 2)
    return ci_low, ci_high

【讨论】：

【解决方案5】：

我知道上面已经建议了引导，下面提出了它的另一种变体，这可能更适合其他一些设置。

#1 对您的数据进行采样（配对 X 和 Y，也可以添加其他重量），在其上拟合原始模型，记录 r2，附加它。然后从记录的所有 R2 分布中提取置信区间。

#2另外可以拟合采样数据并使用采样数据模型预测非采样 X（还可以提供连续范围来扩展您的预测，而不是使用原始 X）时间> 获得 Y 帽子的置信区间。

所以在示例代码中：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import pandas as pd
from sklearn.metrics import r2_score


x = np.array([your numbers here])
y = np.array([your numbers here])


### define list for R2 values
r2s = []

### define dataframe to append your bootstrapped fits for Y hat ranges
ci_df = pd.DataFrame({'x': x})

### define how many samples you want
how_many_straps = 5000

### define your fit function/s
def func_exponential(x,a,b):
    return np.exp(b) * np.exp(a * x)

### fit original, using log because fitting exponential
polyfit_original = np.polyfit(x
                              ,np.log(y)
                              ,1
                              ,# w= could supply weight for observations here)
                              )

for i in range(how_many_straps+1):

    ### zip into tuples attaching X to Y, can combine more variables as well
    zipped_for_boot = pd.Series(tuple(zip(x,y)))

    ### sample zipped X & Y pairs above with replacement
    zipped_resampled = zipped_for_boot.sample(frac=1, 
                                              replace=True)

    ### creater your sampled X & Y 
    boot_x = []
    boot_y = []
    
    for sample in zipped_resampled:
        boot_x.append(sample[0])
        boot_y.append(sample[1])
     
    ### predict sampled using original fit
    y_hat_boot_via_original_fit = func_exponential(np.asarray(boot_x),
                                                   polyfit_original[0], 
                                                   polyfit_original[1])       
    
    ### calculate r2 and append
    r2s.append(r2_score(boot_y,  y_hat_boot_via_original_fit))
    
    
    ### fit sampled
    polyfit_boot = np.polyfit(boot_x
                              ,np.log(boot_y)
                              ,1
                              ,# w= could supply weight for observations here)
                              )

        
    ### predict original via sampled fit or on a range of min(x) to Z
    y_hat_original_via_sampled_fit = func_exponential(x,
                                                      polyfit_boot[0], 
                                                      polyfit_boot[1])     
    

    ### insert y hat into dataframe for calculating y hat confidence intervals
    ci_df["trial_" + str(i)] = y_hat_original_via_sampled_fit
  

### R2 conf interval
low = round(pd.Series(r2s).quantile([0.025, 0.975]).tolist()[0],3)
up = round(pd.Series(r2s).quantile([0.025, 0.975]).tolist()[1],3)
F"r2 confidence interval = {low} - {up}"

【讨论】：