矩形网格上的 Python 4D 线性插值

Question

我需要在 4 个维度（纬度、经度、高度和时间）中线性插入温度数据。
点的数量相当多（360x720x50x8），我需要一种快速的方法来计算数据范围内空间和时间任意点的温度。

我曾尝试使用scipy.interpolate.LinearNDInterpolator，但使用 Qhull 进行三角测量在矩形网格上效率低下，需要数小时才能完成。

通过阅读此SciPy ticket，解决方案似乎是使用标准interp1d 实现一个新的nd 插值器来计算更多的数据点，然后对新数据集使用“最近邻”方法。

但是，这又需要很长时间（几分钟）。

有没有一种快速的方法可以在 4 维的矩形网格上插入数据而无需花费几分钟的时间来完成？

我想过使用interp1d 4 次 而不 计算更高的点密度，但留给用户使用坐标调用，但我不知道如何这样做。

否则，我可以选择根据自己的需要编写自己的 4D 插值器吗？

这是我用来测试的代码：

使用scipy.interpolate.LinearNDInterpolator：

import numpy as np
from scipy.interpolate import LinearNDInterpolator

lats = np.arange(-90,90.5,0.5)
lons = np.arange(-180,180,0.5)
alts = np.arange(1,1000,21.717)
time = np.arange(8)
data = np.random.rand(len(lats)*len(lons)*len(alts)*len(time)).reshape((len(lats),len(lons),len(alts),len(time)))

coords = np.zeros((len(lats),len(lons),len(alts),len(time),4))
coords[...,0] = lats.reshape((len(lats),1,1,1))
coords[...,1] = lons.reshape((1,len(lons),1,1))
coords[...,2] = alts.reshape((1,1,len(alts),1))
coords[...,3] = time.reshape((1,1,1,len(time)))
coords = coords.reshape((data.size,4))

interpolatedData = LinearNDInterpolator(coords,data)

使用scipy.interpolate.interp1d：

import numpy as np
from scipy.interpolate import LinearNDInterpolator

lats = np.arange(-90,90.5,0.5)
lons = np.arange(-180,180,0.5)
alts = np.arange(1,1000,21.717)
time = np.arange(8)
data = np.random.rand(len(lats)*len(lons)*len(alts)*len(time)).reshape((len(lats),len(lons),len(alts),len(time)))

interpolatedData = np.array([None, None, None, None])
interpolatedData[0] = interp1d(lats,data,axis=0)
interpolatedData[1] = interp1d(lons,data,axis=1)
interpolatedData[2] = interp1d(alts,data,axis=2)
interpolatedData[3] = interp1d(time,data,axis=3)

非常感谢您的帮助！

Answer 1

在您链接的同一张票证中，有一个他们称之为张量积插值的示例实现，展示了嵌套递归调用interp1d 的正确方法。如果您为interp1d 选择默认的kind='linear' 参数，这相当于四线性插值。

虽然这可能已经足够好，但这不是线性插值，并且在插值函数中会有更高阶项，正如来自wikipedia entry on bilinear interpolation 的这张图片所示：

这对于您所追求的可能已经足够了，但是在某些应用程序中，三角化的、真正分段线性的插值是首选。如果你真的需要这个，有一种简单的方法可以解决 qhull 的缓慢问题。

一旦设置了LinearNDInterpolator，有两个步骤可以为给定点得出一个插值：

1. 找出点在哪个三角形（在您的例子中是 4D 超四面体）内，然后
2. 使用相对于顶点的点的barycentric coordinates 作为权重进行插值。

你可能不想弄乱重心坐标，所以最好把它留给LinearNDInterpolator。但是你确实知道一些关于三角测量的事情。大多数情况下，因为你有一个规则的网格，所以在每个超立方体内，三角剖分将是相同的。因此，要插入单个值，您可以首先确定您的点在哪个子立方体中，使用该立方体的 16 个顶点构建一个 LinearNDInterpolator，并使用它来插入您的值：

from itertools import product

def interpolator(coords, data, point) :
    dims = len(point)
    indices = []
    sub_coords = []
    for j in xrange(dims) :
        idx = np.digitize([point[j]], coords[j])[0]
        indices += [[idx - 1, idx]]
        sub_coords += [coords[j][indices[-1]]]
    indices = np.array([j for j in product(*indices)])
    sub_coords = np.array([j for j in product(*sub_coords)])
    sub_data = data[list(np.swapaxes(indices, 0, 1))]
    li = LinearNDInterpolator(sub_coords, sub_data)
    return li([point])[0]

>>> point = np.array([12.3,-4.2, 500.5, 2.5])
>>> interpolator((lats, lons, alts, time), data, point)
0.386082399091

这不适用于矢量化数据，因为这需要为每个可能的子立方体存储一个LinearNDInterpolator，尽管它可能比对整个事物进行三角剖分更快，但它仍然会非常慢。

Answer 2

scipy.ndimage.map_coordinates 是一个很好的均匀网格快速插值器（所有盒子大小相同）。 请参阅 SO 上的multivariate-spline-interpolation-in-python-scipy 以获得清晰的描述。

对于不均匀的矩形网格，一个简单的包装器 Intergrid 映射/缩放非均匀网格到均匀网格， 然后做map_coordinates。 在像您这样的 4d 测试用例中，每个查询大约需要 1 微秒：

Intergrid: 1000000 points in a (361, 720, 47, 8) grid took 652 msec

Answer 3

对于非常相似的事情，我使用Scientific.Functions.Interpolation.InterpolatingFunction。

    import numpy as np
    from Scientific.Functions.Interpolation import InterpolatingFunction

    lats = np.arange(-90,90.5,0.5)
    lons = np.arange(-180,180,0.5)
    alts = np.arange(1,1000,21.717)
    time = np.arange(8)
    data = np.random.rand(len(lats)*len(lons)*len(alts)*len(time)).reshape((len(lats),len(lons),len(alts),len(time)))

    axes = (lats, lons, alts, time)
    f = InterpolatingFunction(axes, data)

您现在可以让用户使用坐标调用InterpolatingFunction：

>>> f(0,0,10,3)
0.7085675631375401

InterpolatingFunction 具有很好的附加功能，例如集成和切片。

但是，我不确定插值是否是线性的。您必须查看模块源代码才能找到答案。

Answer 4

我打不开这个地址，找到了关于这个包的足够信息