线性插值——制作网格

Question

我想在不同模型之间进行插值。为方便起见，我的数据如下所示：

我有 10 种不同的模拟（我称之为z）。对于每个z，我都有一个array x 和一个array y（对于给定的z，len(x)=len(y)）。 例如：

对于z=1：x.shape=(1200,) 和 y.shape=(1200,)

对于z=2：x.shape=(1250,) 和 y.shape=(1250,)

对于z=3：x.shape=(1236,) 和 y.shape=(1236,)

等等……

我想进行插值，以便对于给定的z 和x，我得到y。例如，对于z=2.5 和x=10**9，代码输出y。我假设：

y = a*x + b*z + c 我当然不知道a、b 和c。

我的问题是如何将数据存储在网格中？我很困惑，因为对于不同的z，x 和y 的大小不同。怎么可能建立一个网格？

更新

我能够部分解决我的问题。我首先做的是使用interp1d 在x 和y 之间进行插值。它工作得很好。然后，我创建了x 和y 值的新网格。简单来说方法是：

f = interp1d(x, y, kind='linear')
new_x = np.linspace(10**7, 4*10**9, 10000)
new_y = f(new_x)

然后我对x、y 和z 进行插值：

ff = LinearNDInterpolator( (x, z), y)

为了测试该方法是否有效，这里有一个带有z=3 的图。

在x=10**8 之前，情节看起来不错。事实上，这条线偏离了原始模型。这是我进一步放大时的情节：

x > 10**8 时插值明显不好。我该如何解决？

Answer 1

似乎在您的问题中，曲线 y(x) 表现良好，因此您可以先对给定的 z 值插值 y(x)，然后再在获得的 y 值之间插值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.widgets import Slider

import random

#####
# Generate some data
#####
generate = lambda x, z: 1./(x+1.)+(z*x/75.+z/25.)

def f(z):
    #create an array of values between zero and 100 of random length
    x = np.linspace(0,10., num=random.randint(42,145))
    #generate corresponding y values
    y = generate(x, z)
    return np.array([x,y])

Z = [1, 2, 3, 3.6476, 4, 5.1]
A = [f(z) for z in Z]
#now A contains the dataset of [x,y] pairs for each z value

#####
# Interpolation
#####
def do_interpolation(x,z):
    #assume Z being sorted in ascending order
    #look for indizes of z values closest to given z
    ig = np.searchsorted(Z, z)
    il = ig-1
    #interpolate y(x) for those z values
    yg = np.interp(x, A[ig][0,:], A[ig][1,:])
    yl = np.interp(x, A[il][0,:], A[il][1,:])
    #linearly interpolate between yg and yl  
    return yl + (yg-yl)*float(z-Z[il])/(Z[ig] - Z[il])  

# do_interpolation(x,z) will now provide the interpolated data
print do_interpolation( np.linspace(0, 10), 2.5) 

#####
# Plotting, use Slider to change the value of z. 
#####
fig=plt.figure()
fig.subplots_adjust(bottom=0.2)
ax=fig.add_subplot(111)
for i in range(len(Z)):
    ax.plot(A[i][0,:] , A[i][1,:], label="{z}".format(z=Z[i]) )

l, = ax.plot(np.linspace(0, 10) , do_interpolation( np.linspace(0, 10), 2.5), label="{z}".format(z="interpol"), linewidth=2., color="k" )

axn1 = plt.axes([0.25, 0.1, 0.65, 0.03], axisbg='#e4e4e4')
sn1 = Slider(axn1, 'z', Z[0], Z[-1], valinit=2.5)
def update(val):
    l.set_data(np.linspace(0, 10), do_interpolation( np.linspace(0, 10), val))
    plt.draw()
sn1.on_changed(update)

ax.legend()
plt.show()

Answer 2

你所做的对我来说似乎有点奇怪，至少你似乎使用一组 y 值来进行插值。我的建议不是一个接一个地执行两个插值，而是将您的 y(z,x) 函数视为纯二维插值问题的结果。

正如我在评论中指出的那样，我建议使用scipy.interpolate.LinearNDInterpolator，这是griddata 在引擎盖下用于双线性插值的同一对象。正如我们在 cmets 中讨论的那样，您需要一个可以在之后多次查询的插值器，因此我们必须使用较低级别的插值器对象，因为它是可调用的。

这是我的意思的完整示例，包含虚拟数据和绘图：

import numpy as np
import scipy.interpolate as interp
import matplotlib.pyplot as plt

# create dummy data
zlist = range(4)  # z values
# one pair of arrays for each z value in a list:
xlist = [np.linspace(-1,1,41),
         np.linspace(-1,1,61),
         np.linspace(-1,1,55),
         np.linspace(-1,1,51)]
funlist = [lambda x:0.1*np.ones_like(x),
           lambda x:0.2*np.cos(np.pi*x)+0.4,
           lambda x:np.exp(-2*x**2)+0.5,
           lambda x:-0.7*np.abs(x)+1.7]
ylist = [f(x) for f,x in zip(funlist,xlist)]

# create contiguous 1d arrays for interpolation
all_x = np.concatenate(xlist)
all_y = np.concatenate(ylist)
all_z = np.concatenate([np.ones_like(x)*z for x,z in zip(xlist,zlist)])

# create a single linear interpolator object
yfun = interp.LinearNDInterpolator((all_z,all_x),all_y)

# generate three interpolated sets: one with z=2 to reproduce existing data,
# two with z=1.5 and z=2.5 respectively to see what happens
xplot = np.linspace(-1,1,30)
z = 2
y_repro = yfun(z,xplot)
z = 1.5
y_interp1 = yfun(z,xplot)
z = 2.5
y_interp2 = yfun(z,xplot)

# plot the raw data (markers) and the two interpolators (lines)
fig,ax = plt.subplots()
for x,y,z,mark in zip(xlist,ylist,zlist,['s','o','v','<','^','*']):
    ax.plot(x,y,'--',marker=mark,label='z={}'.format(z))
ax.plot(xplot,y_repro,'-',label='z=2 interp')
ax.plot(xplot,y_interp1,'-',label='z=1.5 interp')
ax.plot(xplot,y_interp2,'-',label='z=2.5 interp')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
# reduce plot size and put legend outside for prettiness, see also http://stackoverflow.com/a/4701285/5067311
box = ax.get_position()
ax.set_position([box.x0, box.y0, box.width * 0.8, box.height])
ax.legend(loc='center left', bbox_to_anchor=(1, 0.5))

plt.show()

您没有指定如何存储一系列 (x,y) 数组对，我使用了一个 numpy ndarrays 列表。如您所见，我将一维数组列表展平为一组一维数组：all_x、all_y、all_z。这些可以用作分散的y(z,x) 数据，您可以从中构造插值器对象。正如您在结果中看到的，对于z=2，它再现了输入点，对于非整数z，它在相关的y(x) 曲线之间进行插值。

此方法应该适用于您的数据集。但是，请注意：x 轴上有大量的对数刻度。仅此一项就可能导致数值不稳定。我建议您也尝试使用log(x) 执行插值，它可能会表现得更好（这只是一个模糊的猜测）。