给定一个数 N 和一个数组 A。检查 N 是否可以表示为一个或多个数组元素的乘积答案

【问题标题】：Given a number N and an array A. Check if N can be expressed as a product of one or more array elements给定一个数 N 和一个数组 A。检查 N 是否可以表示为一个或多个数组元素的乘积
【发布时间】：2019-07-01 16:53:00
【问题描述】：

给定一个数字N (where N <= 10^18) 和一个数组A(consisting of at most 20 elements)。我必须判断是否可以通过将数组的某些元素相乘来形成N。请注意，我可以多次使用任何元素。

示例：N = 8 和 A = {2, 3}。在这里，8 = 2 * 2 * 2。所以答案是YES。但是如果N = 15，那么我不能将 15 形成为一个或多个元素的乘积，使用它们任意次数。所以在这种情况下，答案是NO。

我该如何解决这个问题？

【问题讨论】：

首先将 N 除以 A 的每个元素。如果 A 的一个元素不能均匀地划分为 N，那么您可以丢弃该元素。考虑N = 15 和A = {2, 3}。由于 2 不均分为 15，所以可以丢弃。
@user3386109 如果 N = 12 且 A = {2, 6}。在这种情况下，您的方法显示错误的答案。
@YaseenMollik 您的评论毫无意义。所有不是N 的除数的数字都可以从A 中删除而不影响答案。 N = 12 和 A = {2,6} 不是那个相对明显的点的反例。在这种情况下，不会从 A 中删除任何内容
这最好被认为是一个预处理步骤。在您执行任何其他操作之前，请将 A 修剪为您可以实际使用的集合。
对此有一个经典的算法解决方案。您可以为数组中存在的每个元素创建队列并继续填充它们，直到找到您的元素。搜索此问题的解决方案，您的问题的方法也应相同：Find kth multiple of given numbers. For eg, if numbers are 2,3,4,5 then find 6th number divisible by all 2,3,4,5 如果您无法解决，请告诉我。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

简单伪代码：

A_divisors = set()
for x in A:
    if num % x == 0:
        A_divisors.add(x)

candidates = A_divisors.clone()
seen = set()

while(candidates.size()):
    size = divisors.size()
    new_candidates = set()
    for y in candidates:
        for x in A_divisors:
            if num % (x * y) == 0 and (x * y) not in seen:
                new_candidates.add(x * y)
                seen.add(x * y)
            if x * y == num:
                return true
    candidates = new_candidates

return false

复杂度：O(|A| * k * log k)，其中 k 是除数的数量。 log k 将是添加和检查元素是否存在于集合中的成本。使用基于散列的方法，它将是 O(1) 并且可以被删除。我还假设 %, * 操作为 O(1)。

【讨论】：

评论不用于扩展讨论；这个对话是moved to chat。

【解决方案2】：

由于您没有显示代码或算法，我只提供一个想法。如果您需要更多帮助，请展示您在该问题上的更多工作。

请注意，N 最多可以是 60 位长。这足够小，N 可以很快分解为其主要因素。所以首先要为这种大小的数字设计一个好的分解算法。

您的算法将考虑 N 和数组中的每个元素 A。如果N 的任何素因数不分成A 的任何元素，那么您的答案是NO。在您的N = 15 示例中就是这种情况。

现在您可以使用N 和A 的元素中的质因数及其指数。现在你想找到A 的一个子集（或更准确地说，是一个子多集），其中每个素数的指数加起来就是N 中的指数。这大大减少了数字的大小，从而使问题变得更容易。

最后一部分不是微不足道的。在这个问题上做更多工作并向我们展示你的一些工作，然后我们可以继续帮助你。

【讨论】：

很好的答案 (+1) ——但您不是在寻找 A 的子集，而是在寻找子多重集。稍微不同的观点：给定N 的因式分解和A 的元素，用指数向量替换每个数字（包括零作为缺失素因数的位置标记）。那么问题就是将目标向量表示为其他向量的线性组合，使用非负整数作为系数。
@JohnColeman：你对多重集的看法是正确的——我应该使用这个术语。我会尽快改变它以使其更加清晰。我确实考虑过向量，但在提问者展示了更多他自己的工作之后，我将其保留了下来。对于需要提问者更多展示的问题，我仍在努力保持平衡，但我认为将向量留到以后对我来说是一个不错的选择。
很难在给出有用的提示和为他们做作业之间取得平衡，尤其是在这种问题相当有趣的情况下。

【解决方案3】：

您可以按照以下方法：

Form 2 队列：Q2 和 Q3。
在Q2 中添加2，在Q3 中添加3。
获取两个队列头部的最小值，比如说h。从对应的队列中移除h。检查它是否等于数字N。如果是，则返回 true。如果大于N，则返回false。
如果小于N，则在Q2中添加2*h，在Q3中添加3*h。重复步骤 3 到 4。

请注意，当最小h 来自Q3 时，您无需将2*h 添加到Q2 中。那是因为您之前已经在Q3 中添加了该元素。（我会留给你推论}。继续这个过程，直到你的h大于N。

如果你有更多这样的号码，你也可以在那里排队。如果您需要处理更多数字，我认为这是一个最佳解决方案。

你能猜出它的时间和空间复杂度吗？

【讨论】：