如何确定该算法的时间复杂度？答案

【问题标题】：How to determine the time complexity of this algorithm?如何确定该算法的时间复杂度？
【发布时间】：2015-08-08 12:23:15
【问题描述】：

以下函数计算 a^b。假设我们已经有一个 prime_list 包含所有需要的素数并且从小到大排序。代码是用python写的。

def power(a,b):
    if b == 0:
        return 1

    prime_range = int(sqrt(b)) + 1
    for prime in prime_list:
        if prime > prime_range:
            break
        if b % prime == 0:
            return power(power(a, prime), b/prime)

    return a * power(a, b-1)

如何确定它的时间复杂度？ p.s.代码并不完美，但正如您所见，这个想法是使用素数来减少算术运算的次数。我仍在寻找一个理想的实现，所以如果你想出一些东西，请帮忙。谢谢！

【问题讨论】：

您使用什么语言？您可以以编程方式测量运行时间。
即使您的语言的 sqrt() 也是基于实现的。除非您提供所需的详细信息，否则无法找到此功能的整体复杂性。
您真的要测量时间复杂度吗？反对“如何确定时间复杂度”或“如何测量运行时间”？
您使用的语言似乎是 Python。所描述的算法具有 O(n) 复杂度。但是，要测量时间运行时间，您可以导入 timeit，正如您在 stackoverflow.com/questions/2662140/… 中看到的那样。
@Stef 对不起英语不好:-(

标签： algorithm time-complexity number-theory

【解决方案1】：

for 循环耗尽时的最坏情况。但在这种情况下，b 在下一次递归调用中被 2 除。

在最坏的情况下，我们在每一步的大约 sqrt(b) 操作中将 b 除以 2，直到 b 达到 1。
所以如果我们设置方程

f(1) = 1 和 f(n) = f(n/2) + sqrt(n)

我们得到using woflram alpha

f(n) = (1+sqrt(2)) (sqrt(2) sqrt(n)-1)
那是
O(sqrt(b))

【讨论】：

如果你想要递归的实际证明（没有 wolfram alpha），你只需要sqrt(n) + sqrt(n/2) + sqrt(n/4) + sqrt(n/(2^log2(n)))（因为2^log2(n) = 1），它就是sqrt(n) * sum((1/sqrt(2))^I) 和I = 1..log2(n)，使用公式对于几何系列的总和，您会得到所需的答案；）
如果b 是素数，它不会被2整除。
@Juan Lopes 如果 b 是素数，则第一个循环将被耗尽（有条件检查素数
@LukaRahne 我认为您的算法可以很好地近似平均情况，但最坏的情况是其他情况：您需要找到f，例如f(2p+1) = f(2p) + sqrt(2p+1) 和f(2p) = f(p) + sqrt(2p)，这个如果你有一个素数 b 会发生，其中(b - 1) / 2 也是素数（依此类推，直到你达到 1），我不知道这样的数字是否存在，但这可能会发生（23 几乎有这个属性，因为你得到23 -> 22 -> 11 -> 10 -> 5 -> 4 -> 2 -> 1) ;)
@LukaRahne 我明白了，但是如果我们有一个 2^k-1 形式的数字，它将有 O(k) 次循环必须耗尽。（例如 31->30->15->14->7->6->3->2->1->0）。在这种情况下，将有 O(log(n) * sqrt(n)) 操作。