如何计算该算法的时间复杂度答案

【问题标题】：How to calculate Time Complexity of this algorithm如何计算该算法的时间复杂度
【发布时间】：2020-07-20 06:40:43
【问题描述】：

我是渐近分析概念的新手。我正在阅读 Goodrich 的“Python 中的数据结构和算法”。在那本书中，它的实现如下：

 def prefix average2(S):
 ”””Return list such that, for all j, A[j] equals average of S[0], ..., S[j].”””
 n = len(S)
 A = [0] n # create new list of n zeros
 for j in range(n):
      A[j] = sum(S[0:j+1]) / (j+1) # record the average
 return A

这本书说这段代码在 O(n^2) 中运行，但我不知道如何。 S[0:j+1] 在 O(j+1) 时间内运行，但我们如何知道“sum()”在什么时间运行以及如何让运行时间为 O(n^2)？

【问题讨论】：

sum(list) 对列表的所有个元素求和，因此对于 m 个元素来说是 O(m)，因为您显然必须“访问”每个元素一次才能对它们求和起来。

标签： python algorithm performance big-o

【解决方案1】：

你在循环中迭代 n 次。在第一次迭代中，对 1 个数（1 个时间步）求和，然后对 2 个（2 个时间步）求和，以此类推，直到达到 n（本次迭代的 n 个时间步，您必须访问每个元素一次）。因此，您有 1+2+...+(n-1)+n=(n*(n+1))/2 个时间步。这等于 (n^2+n)/2，或消除常数后的 n^2+n。此项的阶数为 2，因此您的运行时间为 O(n^2)（始终取最大幂）。

【讨论】：

【解决方案2】：

for j in range(n): # This loop runs n times.
      A[j] = sum(S[0:j+1]) # now lets extend this sum function's implementation.

我不确定 sum(iterable) 函数的实现，但它必须是这样的。

def sum(iterable):
    result=0

    for item in iterable: # worse time complexity: n
          result+=item
    return result

所以，最后，您的 prefix_average2 函数将在最坏的情况下运行 n*n=n^2 次（当 j+1=n 时）

【讨论】：

【解决方案3】：

首先，我不是这方面的专家，但我想和大家分享一下我的看法。

如果代码类似如下：

for j in range(n):
    A[j] += 5

那么我们可以说复杂度是O(n)

您可能会问为什么我们跳过了n=len(S) 和A=[0]？

因为这些变量需要 0(1) 时间来完成操作。

如果我们退回我们的案子：

for j in range(n):
    A[j] = sum(S[0:j+1]) ....

这里，sum(S[0:j+1])还有一个循环求和计算。

你可以这样想：

for q in S:
    S[q] += q  # This is partially right

重要的是在该代码中处理两个for循环计算。

for j in range(n):
    for q in range(S)
        A[j] = ....

因此复杂度为O(n^2)

【讨论】：

【解决方案4】：

For 循环（for j in range(n)）有 n 次迭代：

迭代（操作）

第一次迭代（对前 1 个元素求和的 1 次操作）

第二次迭代（前 2 个元素相加的 2 次操作）

第 3 次迭代（前 3 个元素求和的 3 次操作）

(n-1) 次迭代（n-1 次求和前 n-1 个元素的操作）

第n次迭代（n次求和前n个元素的操作）

所以，总运算次数是(1 + 2 + 3 +......(n-1) + n)...的总和......

即 (n*(n+1))//2。

所以时间复杂度是 O(n^2)，因为我们必须进行 (n(n+1))//2 次操作。*

【讨论】：