将整数表示为四个平方和答案

【问题标题】：Representing an integer as the sum of four squares将整数表示为四个平方和
【发布时间】：2011-09-26 04:27:33
【问题描述】：

给定一个正整数m，找出四个整数a、b、c、d，使得a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = m在O(m^2 log m)中。可以使用额外的空间。

我能想到O(m^3) 解决方案，但我对O(m^2 logm) 解决方案感到困惑..

【问题讨论】：

【解决方案1】：

第一个提示：

平方元素从1到m^2排序的复杂度是多少

第二个提示：

看看这篇文章以获得一些帮助：

第三个提示：

如果您需要更多帮助：（来自 yi_H 对上一篇文章的回复）：

我猜 O(n^2 log n) 是对数字进行排序，取任意两个对 (O(n^2)) 并查看 c^2 的数字中是否存在 c = a^2 + b^2。您可以使用二进制搜索来查找 c，即 O(log(n))。

作者：yi_H

现在比较 n 和 sqrt(m)

希望你能找到解决办法。

【讨论】：

【解决方案2】：

有一个经典的拉格朗日定理说每个自然数都是四个平方的和。

关于这个主题的Wikipedia 页面提到有一种随机算法用于计算在 O(\lg^2 m) 时间内运行的表示（以上所有建议都是 m 中的多项式，即它们在问题实例的大小（因为数字 m 可以用 \lg m 位编码）。

顺便说一句，拉格朗日定理证明了带有加号和时间的整数的不可判定性（因为自然数是不可判定的，并且可以根据该定理在带有加号和时间的整数中定义）。

【讨论】：