将自然数表示为不同平方和答案

【问题标题】：Represent natural number as sum of distinct squares将自然数表示为不同平方和
【发布时间】：2014-10-06 18:43:15
【问题描述】：

问题是找到最大的正整数集合 S，使得 S 的元素的平方和等于给定数 n。

例如：

4 = 2²
20 = 4² + 2²
38 = 5² + 3² + 2²
300 = 11² + 8² + 7² + 6² + 4² + 3² + 2² + 1²。

我有一个及时运行的算法O(2^(sqrt n) * n)，但它太慢了（每个正方形子集）。

【问题讨论】：

所以问题是你追求更快的算法？
很遗憾我的解决方案太慢了。
你的问题并不清楚，因为你根本没有提到它。
你给出的例子是错误的。 300 可以写成 11² + 8² + 7² + 6² + 4² + 3² + 2² + 1²。
OP，你熟悉动态规划吗？您可以在任何优秀的算法书籍中了解它。

标签： algorithm number-theory

【解决方案1】：

有一个基于subset sum 的规范动态程序的O(n^1.5)-time 算法。这是重复的：

C(m, k) is the size of the largest subset of 1..k whose squares sum to m
C(m, k), m < 0 = -infinity (infeasible)
C(0, k) = 0
C(m, 0), m > 0 = -infinity (infeasible)
C(m, k), m > 0, k > 0 = max(C(m, k-1), C(m - k^2, k-1) + 1)

为0..n 中的所有m 和0..floor(n^0.5) 中的所有k 计算C(m, k)。返回 C(n, floor(n^0.5)) 作为目标值。要恢复集合，请回溯 argmax。

【讨论】：

【解决方案2】：

我只是想知道这个问题是否可以简化为 NP？看起来您的整数（平方）列表小于n（可以在O(sqrt(n)) 中生成），并且您正在寻找来自1 to sqrt(n) 的子集总和（检查所有可能性）。如果是这样，它应该可以通过O(n^2) 中的背包动态规划算法（但这是一种非常幼稚的算法，我认为可以改进）来解决 - sqrt(n) 检查次数 sqrt(n) 背包物品计数次数 n 背包重量。

编辑：我认为在填充动态编程数组后使用智能回溯，您可以在 O(n*sqrt(n)) 中完成。

【讨论】：

【解决方案3】：

你可以使用循环：

T(0, m) = 0
T(n, m) = -Infinity (if n<0 or m<0)
T(n, m) = max(T(n-m*m, m-1)+1, T(n, m-1))

或者，在 Python 代码中：

from functools import lru_cache

@lru_cache(100000)
def T(n, m):
    if n<0 or m<0: return (-1000000, 0)
    if n==0: return (0, 0)
    return max((T(n-m*m, m-1)[0]+1, m), T(n, m-1)) 

def squares(n):
    s = int(n**0.5)
    while n>0 and s>0:
        _, factor = T(n, s)
        yield factor**2
        n -= factor**2
        s = factor-1

for x in (4, 20, 38, 300):
    result = list(squares(x))
    print(sum(result), '= sum', result)

你给出的例子（300），可以用8个因素写成：

300 = 11² + 8² + 7² + 6² + 4² + 3² + 2² + 1²

其他结果：

4 = sum [4]
20 = sum [16, 4]
38 = sum [25, 9, 4]
300 = sum [121, 64, 49, 36, 16, 9, 4, 1]

【讨论】：