为什么我得到这个 [1, 2, 4, 8, 16, 1, 16, 8, 4, 2, 1]？答案

【问题标题】：Why did I get this [1, 2, 4, 8, 16, 1, 16, 8, 4, 2, 1]?为什么我得到这个 [1, 2, 4, 8, 16, 1, 16, 8, 4, 2, 1]？
【发布时间】：2011-03-30 16:07:43
【问题描述】：

经过反复试验，我找到了以下几行 python 代码，

for N in range(2**1,2**3):
    print [(2**n % (3*2**(2*N - n))) % (2**N-1) for n in range(2*N+1)]

产生以下输出，

[1, 2, 1, 2, 1]
[1, 2, 4, 1, 4, 2, 1]
[1, 2, 4, 8, 1, 8, 4, 2, 1]
[1, 2, 4, 8, 16, 1, 16, 8, 4, 2, 1]
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 1, 32, 16, 8, 4, 2, 1]
[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1]

即2 的幂到2**(N-1), 1，并且 2 的幂相反。这正是我的问题所需要的（fft 和小波相关）。但是，我不太确定 为什么 它有效？我理解的最终模运算，它提供了系列中间的 1。第一个模运算中的因子 3 让我很头疼。任何人都可以提供解释吗？具体来说，我的基数 2 和因子 3 之间的关系是什么？

【问题讨论】：

当我运行程序时，输出与您列出的不同。
不是答案，但是，既然 Python 重视清晰度，为什么不直接使用 [2**n for n in range(N)] + [1] + [2**n for n in range(N-1, -1, -1)])？
[0, 0, 0]不能是第一个结果，因为第一个N是2，这使得range()的参数在第二行2*2+1 = 5。因此，第一个列表应该有 5 个元素。
[0, 0, 0] 已被删除---早期代码的残余。
不。输出仍然与您的源代码不匹配。 N 的范围是 2-16，所以应该有 14 个值。

标签： python algorithm language-agnostic math number-theory

【解决方案1】：

首先，正如其他人所说，有许多更简单的实现可能，您可能应该使用这些。

但要回答你的问题，这就是你得到这个结果的原因：

当 n

2ⁿ % (3*2^2N-n) = 2ⁿ，因为 2ⁿ2N-n。然后 2ⁿ % (2^N-1) = 2ⁿ，给出预期的结果。

当 n=N：

2^N % (3*2^2N-N) = 2^N, 2^N % (2^N-1) = 1.

当 N

令 n = 2N - k。那么：

2ⁿ % (3*2^2N-n) = 2^2N-k % (3*2^{k) = 2^k*(2^2N-2k % 3) = 2^k * (4^N-k % 3)}

4 的任何幂等于 1 模 3（因为 4=1 (mod 3)，所以 4^m=1^m=1 (mod 3) 为好）。所以最终的结果是 2^k = 2^2N-n，和预期的一样。

使用其他数字：

如果您使用基数 a 而不是 2，并且使用数字 b 而不是 3，那么最后一部分将为您提供：

a^k * ((a²)^N-k % b)

因此，您需要选择 b 作为 a²-1 的任何因子，这将确保 ((a²)^{N-k sup> % b) = 1 对于任何 k。}

【讨论】：

我自己和一位同事经历了你的推理，你是对的。感谢您提供非常清晰准确的答案。

【解决方案2】：

虽然我和下一个极客一样喜欢聪明的解决方案，但如果您在理解自己的代码时遇到困难，为什么不使用简单的解决方案呢？它会更容易维护，而且速度也不会很慢：

def fft_func(ex):
    if ex == 0:
        return [0, 0, 0]
    else:
        return [2**n for n in range(0, ex+1)] + [1] + [2**n for n in range(ex, -1, -1)]

【讨论】：

最初，我不打算将此标记为 python 问题。是的，我同意，这个解决方案是 python 方式——如果你只关心编程。在其他语言中，我使用 python 来玩弄数学表达式以查看它们的行为方式。我的兴趣仍然是特定的表达方式，因为在我旁边是需要出现证明的笔和纸，而所述表达方式可能是其中的一部分。

【解决方案3】：

生成该列表的更简单方法：

for N in range(2**1,2**3):
    print [2**((N-abs(N-k))%N) for k in range(2*N+1)]

【讨论】：

@lafrasu：是的，但我写的（函数f(k) = (N-abs(N-k))%N）充满了几何想象。