Union-Find 性能说明

Question

这是参考 Robert Sedgewick 和 kevin Wayne 所著的 Algorithm (Foutth Edition) 一书

对于 Union-find 实现，find 和 union 的代码如下（第 222 页）给出：

public int find(int p)
{
  return id[p]; 
}

public void union(int p, int q)
{ 
 // Put p and q into the same component.

 int pID = find(p);
 int qID = find(q);

// Nothing to do if p and q are already in the same component.

 if (pID == qID) return;

// Rename p’s component to q’s name.

 for (int i = 0; i < id.length; i++)
      if (id[i] == pID) id[i] = qID;
 count--;
}

然后是命题：

命题 F。快速查找算法对每个使用一个数组访问 调用 find() 并在 N + 3 和 2N + 1 之间为每个数组访问 调用结合两个组件的 union()。

我想了解我们实际上是如何得出 N + 3 和 2N + 1 的。我对 N + 3 有一些想法，但对 2N + 1 不知道。请帮忙。

Answer 1

对于pID != qID我们有的情况：

2 次访问：

int pID = find(p);
int qID = find(q);

在 if 条件下循环中的 N 次访问：

if (id[i] == pID)

到目前为止 N+2，但是由于 pID != qID 至少 p 有 pID!=qID 所以我们将在 if 语句中再访问一次：id[i] = qID; 所以我们将至少访问数组 N=3 次。

在最坏的情况下，所有 N 元素的 id 为 pID，我们将执行 id[i] = qID; N-1 次（不像以前那样只执行 N-1 次，因为 q 有 qID 所以我们不会访问 q 的数组）所以总体而言：2 + N（如果所有 N 元素访问的 for 循环中的条件）+ N-1（对于id[i] = qID; ) = 2N+1.

例子：

如果数组看起来像：qID qID qID pID qID（5 个元素）

然后调用union(1,4) //1 索引是第一个元素（带有 qID），4 是第 4 个（pID）

一开始您将有 2 个访问权限，5 个用于 if 条件，只有一个 if 条件为真 - 对于 4 个元素，它是唯一具有 pID 的元素，因此您至少拥有 2+5+1 =8= N+3。

现在以最大访问次数为例，采用数组：qID pID pID pID pID 现在你将拥有2+5 + 4（因为四个条件为真）= 11 = 2N+1（N=8）。