实现 Kruskal 算法时是否必须使用 Union Find 数据结构？

Question

从我读到的关于 Kruskal 算法的内容来看，似乎我们必须使用联合查找数据结构。但是为什么我不能只使用一个布尔数组来指示特定顶点是否已添加到 MST 中，而只是检查边的两个顶点是否都没有添加到 MST 中呢？ IE。类似这样的东西（这类似于 Java，但是是伪代码，所以它可能无法编译）：

public Queue<Edge> getMST(Graph graph) {
  boolean[] visited = new boolean[graph.numVertices()];
  PriorityQueue<Edge> pq = new PriorityQueue<>();
  Queue<Edge> mstPath = new Queue<>();
  pq.addAll(graph.edges());
  while(mstPath.size() < graph.numVertices() - 1 && pq.isNotEmpty()) {
    Edge curr = pq.getMin();
    if (visited[curr.to] && visited[curr.from]) continue; // ignore because both vertices of this edge are in MST
    mstPath.add(curr);
    visited[curr.to] = true;
    visited[curr.from] = true;
  }
  return mstPath;
}

那么我为什么要使用 Union Find 数据结构呢？上面的方法不正确吗？

Answer 1

Kruskal 算法的工作方式是从一堆不连贯的顶点开始，然后一次添加一条边，直到有一个连接所有顶点的生成树。如果在每一步都添加尽可能便宜的边，则最终生成树的成本将最低。

因此，您在每个步骤中要做的就是找到可以在不形成循环的情况下添加的最便宜的边缘。为此，您需要快速确定一对顶点是否已连接。如果它们已经连接，则在它们之间添加一条边将引入一个循环。如果它们没有连接，您可以添加边，它将连接图中的两个独立组件。

最简单的数据结构是有一个数组，为每个顶点存储一个数字，每个不同的数字对应一个不同的连接组件。 （使用布尔值是不够的——一开始每个顶点都有一个组件）。该数组允许您检查两个顶点是否在恒定时间内位于同一组件中，但合并两个组件是 O(N)，因为您需要更新其所有元素。 union find 数据结构更聪明一些，可以非常快速地完成这两个操作。

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顺便说一句，也许您将 Kruskal 算法与 Prim 算法混淆了。在 Prim 的算法中，您跟踪一棵树，并且在每一步中，您将一个尚未在树中的顶点添加到树中。

但即便如此，您的提议也不会真正起作用，因为每当您向树添加一条边时，其中一个顶点在树中，而另一个不在。