需要对 Kruskals 和 Union-Find 进行一些澄清答案

【问题标题】：Need some clarification on Kruskals and Union-Find需要对 Kruskals 和 Union-Find 进行一些澄清
【发布时间】：2016-09-26 23:18:50
【问题描述】：

请帮助我填补我的知识空白（自学）：

到目前为止，我知道给定一个包含 N 个顶点和边的图，我们希望形成一个具有 N-1 条边的 MST

我们按边的重量排序
我们创建了一组子集，其中每个顶点都有自己的子集。所以如果我们有 {A,B,C,D} 作为我们的初始顶点集，我们现在有 {{A}, {B}, {C}, {D}}
我们还创建了一个集合 A 来保存答案
我们沿着有序边的列表向下移动。我们看它的顶点，所以 V1 和 V2。如果它们在单独的子集中，我们可以连接这两个子集，并将边添加到包含我们边的集合 A 中。如果它们在同一个子集中，我们转到下一个选项（因为它是一个循环）
我们继续这种模式，直到到达 Edge 列表的末尾，或者达到顶点数 - 1 代表我们的集合 A 的长度。

如果上述断言属实，我的以下问题与实现有关：

如果我们使用 list[] 来保存包含该顶点的集合的子集：

子集 = [[1][2][3][4][5][6][7]]

每条边由需要寻找两个子集组成所以我们需要找到 (6,7)

结果是

my_path = [(6,7)] #包含所有路径子集 = [[1][2][3][4][5][6,7]]

不会在子集中找到子集需要太长时间才能成为 O(nlog(n))

有更好的方法还是我这样做正确？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

不会在子集中找到子集需要太长时间才能成为 O(nlog(n))

是的

有更好的方法还是我这样做正确？

更好的方法是使用 Disjoint Set Forest 数据结构和 Union by Rank 技术。应用此技术会为 Union 或 Find 操作产生 O(log n) 的最坏情况运行时间

【讨论】：

【解决方案2】：

其实算法的运行时间是O(E log(V))。

其性能的关键在于您的第 4 点，更具体地说，确定轻边 e = (a, b) 的实现是否 'a' 和 'b' 属于同一集合，如果不属于，执行它们各自集合的并集。

关于该主题的更多说明，我向您推荐这本书：“算法简介”，来自 MIT Press，ISBN 0-262-03293-7，第 561 页（针对 MST 的一般主题）和第 568 页（针对 Kruskal 的算法）。正如它所说，我引用：

"Kruskal 算法对图 G = (V, E) 的运行时间取决于关于不相交集数据结构的实现。我们将假设第 21.3 节的不相交集森林实施与按等级联合和路径压缩启发式，因为它是渐近最快的实现知道。”

几行之后，通过一些简单的“时间复杂度理论”演算，证明了它的时间复杂度为 O(E log(V))。

【讨论】：