为什么使用的数据类型为“long long int”与“int”相比，运行时间存在差异？ [复制]

Question

我正在编写一个程序，它涉及的输入范围高达 100 万，当我使用数据类型“int”来处理我的值时，运行时间非常长，程序从未完全执行过，所以我没有能够记下运行时间。 之前的代码；

#include<stdio.h>
int main()
{       
    int n,m,i,maxt=0,maxn;

    for(n=2;n<=1000000;n++){
        m=n;
        i=0;
        for(i=0;m!=1;i++){
            if(m%2==0)
                m=m/2;
            else
                m=(3*m+1);
        }

        if(i>maxt){
            maxt=i;
            maxn=n;
        }
    }

    printf("%d%d",maxn,maxt);

    return 0;
}

但是在处理代码时，我将数据类型从“int”更改为“long long int”，令人惊讶的是，运行时间急剧下降（毫秒），谁能解释这背后的原因是什么？ 后面的代码；

#include<stdio.h>
int main()
{       
    long long int n,m,i,maxt=0,maxn;

    for(n=2;n<=1000000;n++){
        m=n;
        i=0;
        for(i=0;m!=1;i++){
            if(m%2==0)
                m=m/2;
            else
                m=(3*m+1);
        }

        if(i>maxt){
            maxt=i;
            maxn=n;
        }
    }

    printf("%lld%lld",maxn,maxt);

    return 0;
}

Answer 1

您正在计算Collatz conjecture。对于某些数字n 作为输入，m 可以变得非常大。如果m 大于 2³¹，使用正常的 int，你会得到一个负数。更明确地说：当 m >= 2³¹ 和 m 32 一个有符号的 32 位值将被解释为一个负数：计算机仅使用 32 位时看不到这种差异。

m 的负数陷入无限循环，永远不会达到m == 1 结束条件。因此，需要一个 64 位的 int 类型。在维基百科页面上，显示了 3 个不同的负数之间的循环，例如 m=-1 变为 m=-2 再次变为 m=-1 在一个永无止境的循环中。

m 第一次大于 2³¹ 是针对n=113383，其中m 达到2482111348。

进一步澄清：问题不在于n，而在于以下循环中的m。

    m=n;
    for(i=0;m!=1;i++){
        if(m%2==0)
            m=m/2;
        else
            m=(3*m+1);
    }

对于每个n，此循环会执行多次。 m 从获取 n 的值开始，例如 113383。在这种情况下，经过 120 步后，m 达到 2482111348，它太大了，不再适合 32 位有符号整数。在大多数现代处理器上，2482111348 的表示形式与 -1812855948 相同。现在循环继续以负值继续。过了一会儿，它进入一个无限循环，总是重复相同的 18 个数字 -17、-50、-25、...、-34、-17。并且永远不会达到停止 for 循环所需的条件 m==1。

Answer 2

这是对您的代码的小修改，适用于 gcc

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

void overflow()
{
    fprintf(stderr, "Overflow\n");
    exit(1);
}

int main()
{       
    int n,m,i,maxt=0,maxn;

    for(n=2;n<=1000000;n++){
        m=n;
        i=0;
        for(i=0;m!=1;i++){
            if(m%2==0)
                m=m/2;
            else {
                int m_prev = m;

                // Replacing m = (3*m+1) with operations that checks for 
                // overflow
                if(__builtin_mul_overflow(m,3,&m)) {
                    printf("%d\n", m_prev);
                    printf("%d\n", INT_MAX);
                    overflow();
                }
                if(__builtin_add_overflow(m,1,&m))
                    overflow();
            }
        }
        if(i>maxt){
            maxt=i;
            maxn=n;
        }
    }

    printf("%lld%lld",maxn,maxt);

    return 0;
}

如果发生溢出，它将打印“溢出”并退出。这就是正在发生的事情。发生的情况是 3*m+1 的结果太大，int 无法容纳，导致溢出。

您可以在此处阅读有关这些 gcc 函数的信息：https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Integer-Overflow-Builtins.html